整数的幂

整数的幂（Integer’sPower）

（10102510352）

问题描述

   有一些整数，能够用较小的整数的幂来表示，比如9=3^2, 64=2^6, 1000=10^3, 对于一个给定的正整数y，如果我们能找到一个最大的整数k和一个最小的整数x，使得x^k=y，那么k被称为y的幂（power）。题目要求计算从整数a到整数b之间所有数的幂之和。

已知：两个整数a，b，其中(2 <= a <= b <= 10^18);

求解：a，b两数之间所有数（包括a，b）的幂之和

解题思路

    根据已知条件和题目要求，经过具体分析，这道题应该为数学计算题，需要我们编程去实现

    从题目给出的条件，我们可以将a到b之间的数分为两大部分：能被开方的数和不能被开发的数。不能被开方的数其幂为1，能开方的数的幂值我们只需找到开方的次数（例如9能开2次方根和1次方根，2最大，所以9的幂为2）最大的值k，则k为该数的幂。因此，我们需要一个算法，首先判断该数是否能被开方，从而可以将这些数字区分开；其次，我们得需要一个算法去获取该数能开方的最大次数；写出这两个算法，这两个问题也就迎刃而解了。当然，在这些数中，还有一些数是不需要去划分的—素数，素数的幂肯定为1，所以素数可以直接使它的幂等于1即可，不需要划分和计算。

算法分析与设计

    从最简单的问题入手，首先判断这个数是否为素数，我所使用的编程语言里面没有判断素数的API，于是必须自己实现这个判断算法。

素数的判断方法很简单。例如一个数a(a>2)，只需要判断从2开始一直到之间的所有数都不能整除a，则a便为素数了。

伪代码如下:

                 

isPrime(a)    b =  √a    for i=2….b       if a/i 的余数为0          return true    return false;

   其次，再分析判断一个数是否能被开方这个算法。对于一个整数a，最简单的方式就是判断a是否能开k（k=2……a)次方，从k=2开始遍历a-1次，便可判断a是否能被开方，并且同时可以得出k的最大值（遍历的时候可以获取得到）。暂时先不讨论怎么判断a是否能开方，是否有必要从2到a都遍历才能判断a是否被开方呢？根据经验判断，一般情况下，a不能开a-1次方，a-2次方等，怎样缩小k的取值范围将大大提到判断开方这个算法的性能。结合数学知识，我顺利的缩小了k的范围：

对于x^k = ax = a^(1/k)              我们知道x>=2             因此               a^(1/k)>=2所以k<=log2a

    所以我们只需要遍历从2到log₂a判断a是否能够开方。

    在讨论判断开方的算法，在我使用的编程语言里（java）是提供了开方的方法，即Math.pow(double a,double b)函数，但是函数返回的是一个double类型，在计算机中浮点运算永远不能精确的得到数值，总是一个很精确的近似值。但是判断一个数能否被开方，如果能够被开方，其结果一定为整数，不能得到近似值。因此判断开方必须得自己实现。

    我想到的是一个比较简单的方法，比如要判断9是否能被3开方,只需要遍历从2到9的数，分别进行3次方运算，如果某个数三次方得到的结果正好等于9，则9便能开3次方根。一开始我的程序就是这么实现的，对已比较小的数据，程序运行时间还是很短，但是一旦测试的数据为百万级别的时候，程序便慢的不行，我输出了4到1000000这两数之间所有幂之和的计算时间（我的机器芯片是Inter Core i7 2.8GHz），结果竟然要170s，这简直是难以接受的。最后确定这种判断是否被开方的方法必须得抛弃掉。

    后来，我想到了另外一种办法。我先用java里面的开方方法Math.pow(a,b)计算出一个近似值，并将其强制转化为整形k，然后我再计算从k-1到k+1这三个数之间是否有数进行b次相乘能够等于a，如果有，则a能被b开方，否则不能。伪代码如下：

canRoot(a,b)    c = (integer)power(a,1/b)    for c-1…c+1        muti :=1        for 1….bmuti := muti*c        if muti = areturn true       return false;

    至此，所有关键的算法都已经讨论并且实现完毕。

程序说明

1、boolean isPrime(long a)

   判断一个数是否为素数，由于题目要求，因此参数为长整形，如果该数为素数，则返回true，否则返回false。

2、booean canRoot(long a, long b)

   判断一个数a是否能被b开方，如果能够开方，则返回true，否则返回false。

3、void main(String args[])

   程序的主函数，也是程序的入口，负责整个程序的逻辑控制，以及核心算法的实现。

程序清单

 

package sei.zwf.main;

 

import java.math.BigDecimal;

 

import java.util.Scanner;

 

public class IntegerPower {

          

           public static void main(Stringargs[])

           {

                long a=0,b=0;

                Scanner cin =new Scanner(System.in);/*input from keyboard*/

                print("请输入一个数值a，值的范围为2~1*10^18>");

                if(cin.hasNextLong())

                    a =cin.nextLong();

                print("请再输入一个数值b，值的范围为2~1*10^18>");

                if(cin.hasNextLong())

                    b = cin.nextLong();

                cin.close();

                long powerSum = 0;/*init the sum of power*/ 

                long startTime = System.currentTimeMillis();

                for(long i=a;i<=b;i++)

                {

                    if(isPrime(i))

                         powerSum +=1;

                    else{

                         boolean isRootable =false;/*judge the sum is rootable ,if rootbale,break*/

                         long log2value = Math.round(Math.log(i)/Math.log(2))+1;

                         for(long j=log2value;j>=1;j--)

                         {

                             if(canRoot(i,j)){

                                  powerSum += j;

                                  isRootable = true;

                                  break;

                             }

                         }

                         if(!isRootable)

                             powerSum +=1;

                    }

                }

                long endTime= System.currentTimeMillis();

                print("The sum of the power between a and b is "+powerSum);

                print("The caculating time is "+(endTime-startTime)/1000+"s");

               

           }

           public static void print(String str)

           {

                System.out.println(str);

           }

           /*judge whether a can be rooted by b*/

           public static boolean canRoot(long a,long b)

           {

                long k = (long)Math.pow(a, 1d/b);

                for(long i=k-1;i<=k+1;i++)

                {

                    long muti = 1;

                    for(long j=0;j<b;j++)

                         muti *=i;

                    if(muti==a)

                         return true;

                }

                return false;

           }

           /*judge whether a is a prime*/

public static boolean isPrime(long a)

           {

                long sqrt = (long)Math.sqrt(a);

                for(long i=2;i<=sqrt;i++)

                {

                    if(a%i==0)

                         return false;

                }

                return true;

           }

}

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