动态规划

动态规划方法生成最优二叉查找树

 转自：http://www.cnblogs.com/lpshou/archive/2012/04/26/2470914.html

1、概念引入

　　基于统计先验知识，我们可统计出一个数表（集合）中各元素的查找概率，理解为集合各元素的出现频率。比如中文输入法字库中各词条（单字、词组等）的先验概率，针对用户习惯可以自动调整词频——所谓动态调频、高频先现原则，以减少用户翻查次数。这就是最优二叉查找树问题：查找过程中键值比较次数最少，或者说希望用最少的键值比较次数找到每个关键码（键值）。为解决这样的问题，显然需要对集合的每个元素赋予一个特殊属性——查找概率。这样我们就需要构造一颗最优二叉查找树。

 

2、问题给出

　　n个键{a1,a2,a3......an},其相应的查找概率为{p1,p2,p3......pn}。构成最优BST,表示为T₁ⁿ ，求这棵树的平均查找次数C[1, n]（耗费最低)。换言之，如何构造这棵最优BST，使得

C[1, n] 最小。

 

3、分段方法

　　 

　　　　动态规划法策略是将问题分成多个阶段，逐段推进计算，后继实例解由其直接前趋实例解计算得到。对于最优BST问题，利用减一技术和最优性原则，如果前n-1个节点构成最优BST，加入一个节点an 后要求构成规模n的最优BST。按 n-1, n-2 , ... , 2, 1 递归，问题可解。自底向上计算：C[1, 2]→C[1, 3] →... →C[1, n]。为不失一般性用

C[i, j] 表示由{a1,a2,a3......an}构成的BST的耗费。其中1≤i ≤j ≤n。这棵树表示为Tij。从中选择一个键ak作根节点，它的左子树为Tik-1，右子树为Tk+1j。要求选择的k 使得整棵树的平均查找次数C[i, j]最小。左右子树递归执行此过程。（根的生成过程）

 

 4、递推计算式

 

 

　　5、基本算法如下

　　

6、具体实现代码（其中所有数据都存放在2.txt中，其内容为：

其中5表示有5个节点，其他数据表示各个节点出现的概率；

 1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 #define max 9999 4 void OptimalBST(int,float*,float**,int**); 5 void OptimalBSTPrint(int,int,int**); 6 void main() 7 { 8     int i,num; 9     FILE *point;10     //所有数据均从2.txt中获取，2.txt中第一个数据表示节点个数；从第二个数据开始表示各个节点的概率11     point=fopen("2.txt","r");12     if(point==NULL)13     {14         printf("cannot open 2.txt.\n");15         exit(-1);16     }17     fscanf(point,"%d",&num);18     printf("%d\n",num);19     float *p=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));20     for(i=1;i<num+1;i++)21         fscanf(point,"%f",&p[i]);22     //创建主表；23     float **c=(float**)malloc(sizeof(float*)*(num+2));24     for(i=0;i<num+2;i++)25         c[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));26     //创建根表；27     int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+2));28     for(i=0;i<num+2;i++)29         r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));30     //动态规划实现最优二叉查找树的期望代价求解。。31     OptimalBST(num,p,c,r);32     printf("该最优二叉查找树的期望代价为：%f \n",c[1][num]);33     //给出最优二叉查找树的中序遍历结果；34     printf("构造成的最优二叉查找树的中序遍历结果为：");35     OptimalBSTPrint(1,4,r);36 37 }38 void OptimalBST(int num,float*p,float**c,int**r)39 {40     int d,i,j,k,s,kmin;41     float temp,sum;42     for(i=1;i<num+1;i++)//主表和根表元素的初始化43     {44     45         c[i][i-1]=0;46         c[i][i]=p[i];47         r[i][i]=i;48     }49     c[num+1][num]=0;50     for(d=1;d<=num-1;d++)//加入节点序列51     {52         for(i=1;i<=num-d;i++)53         {54             j=i+d;55             temp=max;56             for(k=i;k<=j;k++)//找最优根57             {58                 if(c[i][k-1]+c[k+1][j]<temp)59                 {60                     temp=c[i][k-1]+c[k+1][j];61                     kmin=k;62                 }63             }64             r[i][j]=kmin;//记录最优根65             sum=p[i];66             for(s=i+1;s<=j;s++)67                 sum+=p[s];68             c[i][j]=temp+sum;69         }70     }71 }72 //采用递归方式实现最优根的输出，最优根都是保存在r[i][j]中的。。。73 void OptimalBSTPrint(int first,int last,int**r)74 {75 76     int k;77     if(first<=last)78     {79         k=r[first][last];80         printf("%d  ",k);81         OptimalBSTPrint(first,k-1,r);82         OptimalBSTPrint(k+1,last,r);83     }84 }

7、最终运行结果：

8、参考文献：

（1）算法导论

（2）数据结构 严蔚敏

（3）网上下载的一个ppt（算法设计与分析，第八章）

另附：http://blog.sina.com.cn/s/blog_51cea4040100gk6v.html

动态规划求0-1背包问题

1.问题描述如下：

经过分析后算法如下：v(i,j)表示前j个物品中能够放入承重量为j的包中的最大价值。。。。

 

2.具体的代码实现如下：

　　其中2.txt中的具体数据为：

 　　代码：

View Code

 1  #include<stdio.h> 2   #include<stdlib.h> 3   void maxValue(int *,int *,int **,int,int); 4   int ziji(int *,int *,int *,int **,int,int); 5   int max(int,int); 6   void main() 7   { 8       int i,k,num,weight; 9       FILE *p;10      p=fopen("2.txt","r");11      if(p==NULL)12      {13          printf("文件打开失败！");14          exit(1);15      }16      fscanf(p,"%d%d",&num,&weight);17      int *w=(int*)malloc(sizeof(int)*num);18      int *v=(int*)malloc(sizeof(int)*num);19      int *path=(int*)malloc(sizeof(int)*num);20      int **vv=(int **)malloc(sizeof(int *)*(num+1));21      for(i=0;i<num+1;i++)22          vv[i]=(int *)malloc(sizeof(int)*(weight+1));23      for(i=1;i<=num;i++)24          fscanf(p,"%d",&w[i]);25      for(i=1;i<=num;i++)26          fscanf(p,"%d",&v[i]);27  28          /*printf("%d %d\n",num,weight);29          for(i=0;i<num;i++)30              printf("%d\n",w[i]);31          for(i=0;i<num;i++)32              printf("%d\n",v[i]);*/33      maxValue(w,v,vv,num,weight);34      printf("最终最大价值为： %d\n",vv[num][weight]);35      k=ziji(w,v,path,vv,num,weight);36      printf("最优子集为： \n");37      for(i=0;i<k;i++)38          printf("%d  ",path[i]);39  }40  //求最终最大的价值41  void maxValue(int *w,int *v,int **vv,int num,int weight)42  {     43      int i,j,k;44      for(i=0;i<=num;i++)45          vv[i][0]=0;46      for(i=0;i<=weight;i++)47          vv[0][i]=0;48      for(i=1;i<=num;i++)49          for(j=1;j<=weight;j++)50          {51              if(j>=w[i])52              {53                  k=j-w[i];54                  vv[i][j]=max((v[i]+vv[i-1][k]),vv[i-1][j]);55              }56              else57                  vv[i][j]=vv[i-1][j];//谢谢楼下的提醒，此处已更正。。58          }59  }60  //求最优子集61  int ziji(int *w,int *v,int *path,int **vv,int num,int weight)62  {63      int i,j=5,k=0;64      for(i=num;i>0;i--)65      {66          if(j>0)67          {68              if(vv[i][j]!=vv[i-1][j])69              {70                  path[k++]=i;71                  j=j-w[i];72              }73          }74      }75      return k;76  }77  int max(int x,int y)78  {79      if(x>y) return x;80      else return y;81  }

 附：

　　另外附两幅网上找到的ppt，以便于理解，参考：http://wenku.baidu.com/view/b9e4f70416fc700abb68fce0.html

    （1）最大价值v（4,5）

　　（2）回溯法找到最优子集

动态规划求数塔问题

问题描述如下：

---

 

具体解决方案如下：

{    其中2.txt中保存的数据为：

   

}

 1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 int m; 4 void dqta(int **data,int **d); 5 int max(int,int); 6 void fpath(int **data,int **d,int *path); 7 void main() 8 { 9     int i,j;10     FILE *p;11     p=fopen("2.txt","r");12     if(p==NULL)13     {14         printf("读取文件失败！\n");15         exit(1);16     }17     else18         fscanf(p,"%d",&m);19     //创建动态数组；20     int **data=(int **)malloc(sizeof(int *)*m);21     for(i=0;i<m;i++)22         data[i]=(int *)malloc(sizeof(int)*m);23     int **d=(int **)malloc(sizeof(int *)*m);24     for(i=0;i<m;i++)25         d[i]=(int *)malloc(sizeof(int)*m);26 27     int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*m);28     //读取文件中的数据；29     for(i=0;i<m;i++)30         for(j=0;j<=i;j++)31             fscanf(p,"%d",&data[i][j]);32     dqta(data,d);33     printf("最大值为：%d\n",d[0][0]);34     fpath(data,d,path);35     printf("最终路径为：\n");36         for(i=0;i<m;i++)37             printf("%d\n",path[i]);38 }39 int max(int x,int y)40 {41     if(x>y)return x;42     else return y;43 }44 void dqta(int **data,int **d)45 {46     int i,j;47         for(j=0;j<m;j++)48             d[m-1][j]=data[m-1][j];49     for(i=m-2;i>=0;i--)50         for(j=0;j<=i;j++)51             d[i][j]=max(d[i+1][j],d[i+1][j+1])+data[i][j];52 }53 void fpath(int **data,int **d,int *path)54 {55     int i,j,b;56     path[0]=data[0][0];57     j=0;58     for(i=1;i<m;i++)59     {60         b=d[i-1][j]-data[i-1][j];61         if(b==d[i][j])62         {63             path[i]=data[i][j];64         }65         else66         {67             path[i]=data[i][j+1];68             j++;69         }70     }71 }

动态规划求有向无环图的单源最短路径

问题描述如下：

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具体代码实现：

 1 #include<stdlib.h> 2 #include<stdio.h> 3 #define x 9999 4 #define max 9999 5 int data[10][10]; 6 int dist[10];//记录最短路径为多少 7 int path[10];//记录最短路径 8 int kmin(int,int); 9 void fpath(int a[][10]);10 int froute(int a[][10]);11 void main()12 {13     int i,m;14     int a[10][10]={15     {x,4,2,3,x,x,x,x,x,x},16     {x,x,x,x,10,9,x,x,x,x},17     {x,x,x,x,6,7,10,x,x,x},18     {x,x,x,x,x,3,8,x,x,x},19     {x,x,x,x,x,x,x,4,8,x},20     {x,x,x,x,x,x,x,9,6,x},21     {x,x,x,x,x,x,x,5,4,x},22     {x,x,x,x,x,x,x,x,x,8},23     {x,x,x,x,x,x,x,x,x,4},24     {x,x,x,x,x,x,x,x,x,x}};25 26     /*for (i=0;i<10;i++)27     {28         for(j=0;j<10;j++)29         printf("%d  ",a[i][j]);30         printf("\n");31     }*/32     fpath(a);33         printf("最短路径大小为:  %d\n",dist[9]);34 35     m=froute(a);36     for(i=m-1;i>=0;i--)37         printf("最短路径经过:   %d\n",path[i]);38 }39 void fpath(int a[][10])40 {41     int i,j,k;42     dist[0]=0;43     for(i=1;i<10;i++)44     {45         k=max;46         for(j=0;j<i;j++)47         {48             if(a[j][i]!=x)49                 if((dist[j]+a[j][i])<k)50                     k=dist[j]+a[j][i];    51         }52         dist[i]=k;53     }54 }55 int froute(int a[][10])56 {57     int j,b,k=1,i=9;58     path[0]=10;59     while(i>0)60     {61         for(j=i-1;j>=0;j--)62         {63             if(a[j][i]!=x)64             {65                 b=dist[i]-a[j][i];66                 if(b==dist[j])67                 {68                     path[k++]=j+1;69                     i=j;70                     break;71                 }72             }73 74         }75     }76         return k;77 }78 79 80