查找最小的k个元素

题目：输入n个整数，输出其中最小的k个。

例如输入1，2，3，4，5，6，7和8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3和4。

分析：这道题最简单的思路莫过于把输入的n个整数排序，这样排在最前面的k个数就是最小的k个数。只是这种思路的时间复杂度为O(nlogn)。我们试着寻找更快的解决思路。

 

我们可以先创建一个大小为k的数据容器来存储最小的k个数字。接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有的数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器之中；如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只能替换已有的数字。我们找出这已有的k个数中最大值，然和拿这次待插入的整数和这个最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最大值小，则用这个数替换替换当前已有的最大值；如果带插入的值比当前已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的k个整数之一，因为我们容器内已经有k个数字比它小了，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做三件事情：一是在k个整数中找到最大数，二是有可能在这个容器中删除最大数，三是可能要插入一个新的数字，并保证k个整数依然是排序的。如果我们用一个二叉树来实现这个数据容器，那么我们能在O(logk)时间内实现这三步操作。因此对于n个输入数字而言，总的时间效率就是O(nlogk)。

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于我们每次都需要找到k个整数中的最大数字，我们很容易想到用最大堆。在最大堆中，根结点的值总是大于它的子树中任意结点的值。于是我们每次可以在O(1)得到已有的k个数字中的最大值，但需要O(logk)时间完成删除以及插入操作。

public class findLeastNumbers {// 大顶堆public static void main(String[] args) {int[] arr = { 1,2,3,4,5,6,7,8 };int k = 4;findLeastNumber(arr,k);}public static void Adjustdown(int[] arr, int s, int m) {// 向下调整堆,删除时使用int temp = arr[s];int j;for (j = 2 * s + 1; j <= m; j = 2 * j + 1) {if (j < m && arr[j + 1] > arr[j])++j;if (temp > arr[j])break;arr[s] = arr[j];s = j;}arr[s] = temp;}public static void delete(int[] arr) {// 删除堆中的节点，安定义，堆中每次都只能删除第0个数据int len = arr.length;int temp  = arr[0];arr[0] = arr[len-1];arr[len-1] = temp;Adjustdown(arr, 0, len - 2);}public static void Adjustup(int[] arr, int i) {// 向上调整堆，插入节点时使用,每次插入都是将新数据放在数组最后。// 可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，// 因此需自下往上调整堆// i为数组中最后一个元素的下标int temp = arr[i];int j = (i - 1) / 2;// 父节点坐标while (j >= 0 && i != 0) {if (arr[j] > temp)break;arr[i] = arr[j];i = j;j = (j - 1) / 2;}arr[i] = temp;}public static void insert(int[] arr, int n, int num) {// 在数组arr中插入节点iarr[n] = num;Adjustup(arr, n);}public static void findLeastNumber(int[] arr, int k) {// 找到arr数组里最小的k个数if (arr.length == 0) {System.out.println("数组为空！");return;}int[] heapvector = new int[k];// 堆容器int i = 0;while (i < k) {insert(heapvector, i, arr[i]);i++;}for(int j=k;j<arr.length;j++){if(arr[j]<heapvector[0]){delete(heapvector);insert(heapvector,k-1,arr[j]);}}for(int j = heapvector.length-1;j>0;j--){int temp = heapvector[j];heapvector[j] = heapvector[0];heapvector[0] = temp;Adjustdown(heapvector,0,j-1);}for(int j = 0;j<heapvector.length;j++)System.out.println(heapvector[j]);}}