计算机中浮点数类型的存储

快速入门：

根据IEEE的标准，浮点数的定义如下：

符号位（s）

指数位（e）

小数部分（x）

指数偏移量

单精度浮点数

1 位[31]

8位 [30-23]

23位 [22-00]

127

双精度浮点数

1 位[63]

11 位[62-52]

 52 位[51-00]

1023

对于32bit的浮点数（32bit为单精度，64bit浮点数为双精度，80bit为扩展精度浮点数）

1、其第31 bit为符号位，为0则表示正数，反之为复数，其读数值用s表示；

2、第30～23 bit为幂数，其读数值用e表示；

3、第22～0 bit共23 bit作为系数，视为二进制纯小数，假定该小数的十进制值为x；

十进制转浮点数的计算方法：则按照规定，十进制的值用浮点数表示为：

如果十进制为正，则s = 0，否则s = 1；将十进制数表示成二进制，然后将小数点向左移动，直到这个数变为1.x的形式即尾数，移动的个数即位指数。为了保证指数为正，将移动的个数都加上127，由于尾数的整数位始终为1，故舍去不做记忆。

对3.141592654来说，

1、正数，s = 0；

2、3.141592654的二进制形式为正数部分计算方法是除以二取整，即得11，小数部分的计算方法是乘以二取其整数，得0.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000，那么它的二进制数表示为11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1；

3、将小数点向左移一位，那么它就变为1.1001 0010 0001 1111 1011 0101 01，所以指数为1+127=128，e = 128 = 1000 0000；

4、舍掉尾数的整数部分1，尾数写成0.1001 0010 0001 1111 1011 0101 01，x = 921FB6

5、最后它的浮点数表示为01000 00001001 0010 0001 1111 1011 0101 = 40490FDA

浮点数转十进制的计算方法：

则按照规定，浮点数的值用十进制表示为： 

＝ (-1)^s  * (1 + x) * 2^(e - 127)

对于49E48E68（0100 1001 1110 0100 1000 1110 0110 1000）来说， 

1、其第31 bit为0，即s = 0

2、第30～23 bit依次为100 1001 1，读成十进制就是147，即e = 147。 

3、第22～0 bit依次为110 0100 1000 1110 0110 1000，也就是二进制的纯小数0.110 0100 1000 1110 0110 1000，其十进制形式为(0.110 0100 1000 1110 0110 1000 * 2^23) / (2^23) = (0x49E48E68 & 0x007FFFFF) / (2^23) = (0x648E68) / (2^23) = 0.78559589385986328125，即x = 0.78559589385986328125。 

这样，该浮点数的十进制表示 

=　(-1)^s  * (1 + x) * 2^(e - 127)

=　(-1)^0  * (1+ 0.78559589385986328125) * 2^(147-127)

=    1872333

 

 

以下是几个概念：
1、规格化计数法

用科学计数法表示实数时，如果最左边的第一个数字不是0，则被称为“规格化计数法”

0.1   × 10-2  不是规格化计数法

1.0   × 10-3  则是规格化计数法

 

2、浮点数不能用==号来判断是否相等，因为存在一个精度问题。

3、原，反，补，移码。对于正数而言，原、反、补码都一样。对负数而言，反码除符号位外，在原码的基础上按位取反；补码则在反码的基础之上，在其最低位上加1；移码其实就等于补码，只是符号相反，要求移码时，仍然是先求补码，再改符号

 

4、基于IEEE 754的浮点数存储格式，IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，电子电气工程师协会）在I985年制定的IEEE 754（IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic, ANSI/IEEE Std 754-1985 ）二进制浮点运算规范，是浮点运算部件事实上的工业标准。80年代起所有的计算机系统均支持IEEE 754

1）对于规格化二进制浮点示法而言，有效数位的第1位必定是1而不是0，因此，IEEE 754 规定：实际有效数位中的第1位被省去，因而，有效数位中默计含有1位。

2）移码：除了将指数安排在有效数位前面，还不足以快速比较两个浮点数的大小，例如：

1.0 × 2^-1 在计算机中表示为：0 11111111 00000000000000000000000

这个数相当于整数的 0x7F800000

1.0 × 2^1 在计算机中表示为：0 00000001 00000000000000000000000

这个数相当于整数的 0x00800000

如果用整数比较指令，比较两个数，1.0 × 2^-1  竟然比 1.0 × 2^1  还大！

为了解决这个问题，IEEE 754 设计了一个方案：将指数加上一个常数 127

这个常数 127 被称为“移码”（biased notation）

我们再来看一看：

1.0 × 2^-1 将指数： -1 + 127 = 126 后,得出以下的二进制数：

0 01111110 00000000000000000000 也就是: 0x3F000000

1.0    × 2^1 将指数：1 + 127 = 128 后，得出以下的二进制数：

0 10000000 00000000000000000000 也就是：0x40000000

这样的话，就可以得出正确结果了。

 

5、浮点数分为float和double，分别占4，8个字节，即32，64位。 我仅以32位的float为例，并附带说double。

在IEEE754标准中，规定float的32位这样分

符号位（S）

阶码（E）

尾数（M）

1

8

23

这里应该注意三点： 

A，阶码是用移码表示的，这里会有一个127的偏移量，它的127相当于0，小于127时为负，大于127时为正，比如：10000001表示指数为129-127=2，表示真值为2^2，而01111110则表示2^(-1)。 

B， 尾数全都是小数点后面的数，

C， 但尾数中省略了一个1，因此尾数全为0时，也是1.0...00；

接下来只要说明几个问题就明白了，以123.456为例，表示为二进制就是：N (2) = 1111011. 01110100101111001 ，这里，会右移6位，得到N (2) = 1.111011 01110100101111001*2^6； 这种形式就可以用于上图中的表示格式了。

符号位（S）

阶码（E）

尾数（M）

0

00000110

11101101110100101111001

注意到，上面的阶码第一位为0表正，尾数比N(2)表示的第一位少了个1，这就是上面说的默认为第一位为1。 由于在将十进制转为二进制的过程中，常常不能正好转得相等， (当然，像4.0这样的就不会有损失，而1.0/3.0这样的必然损失)，所以就产生了浮点数的精度问题， 实际上，小数点后的23位二进制数，能影响十进制数的前8位。小数点后有23位，最后一位的值为1时，它就是1/2^22=0.000000238实际取的时候肯定是0.0000002，也就是说，对于一个float型的浮点数，其有效的位数是从左到右数7位(包括缺省的1才是7位)，当到达上面这个第8位时，就不可靠了，但我们的VC6可以输出最长的1.0/3.0为0。33333333333333331，这主要是编译器的问题了， 而并不是说浮点数小数点后的16位都有效。 如果不信的话，可以去试一下double类型的1.0/3.0， 得到的也将是小数点后17位。另外，编译器或电路板一般都有"去噪声"的"修正"能力，它能够使得超过7位的十进制数即使无效了也不会变得离谱，这也是上面为什么一直都是输出333而不是345之类的，可以这样试一下：

float f=123456789；

cout<<f<<endl；//这里肯定得到123456789。 

 

下面说示数范围。

阶码的示数位数是8位移码，最大为127最小为-127，这里的127用来作为2的指数，因此为2^127，约等于 1.7014*10^38， 而我们知道，float的示数范围约为-3.4*10^38-------3.4*10^38， 这是因为尾数的24位(默认第一位为1)全为1时，非常接近2， 1.11..11（二进制）很明显约为2（十进制），因此浮点数的范围就出来了。

 

 

6、再来几个例子巩固一下：

1、将 -0.625 转化为计算机中的二进制数浮点数

解：

-0.625 = -5/8 = -5/23  = -101 × 2-3  = -1.01 × 2-1

符号位：1

指数位：-1 + 127 = 126

有效数位：1.01（在机器中要相应去掉默认位）

所以，在机器表示的二进制序列为：1 01111110 0100000000000000000000

相当于整数：0xBF200000

2、将如下二进制序列用十进制浮点数表示。

11000000101000000000000000000000

解：

符号位：1 是负数

指数位；10000001 = 129， 这个数要减去移码值，即：129 – 127 = 2

有效数位：01000000000000000000000 这个数要加上默认1，即得：1.01

整个序列结果为：- 1.01 × 22   = -101 = -5.0 

 

以下是我参考的多篇文章：

http://blog.163.com/china_2008ay/blog/static/9014225220102256406767/

http：//blog.sina.com.cn/s/blog_6ca385a10100rr45.html

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6f95aee601012pv6.html