约瑟夫问题

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1） mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！

 

#include<stdio.h>int main(){    int n,m,last;    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        last=0;        for(int i=1;i<=n;i++)            last=(last+m)%i;        printf("%d\n",last+1);    }    return 0;}

      当然若要模拟出队顺序的话，该方法就不适用了。若数组或链表模拟的话，时间复杂度为o(n^2)。显然不可取，下面给出我用线段树模拟的代码。

#include <iostream>#include<cstdio>using namespace std;const int maxn=100000;struct node{    int l,r,sum;}p[maxn*4];void init(int l,int r,int rt){    p[rt].l=l;    p[rt].r=r;    if(l==r)    {        p[rt].sum=1;        return;    }    int mid=(l+r)>>1;    init(l,mid,rt<<1);    init(mid+1,r,rt<<1|1);    p[rt].sum=p[rt<<1].sum+p[rt<<1|1].sum;}int query(int m,int rt){    p[rt].sum--;    if(p[rt].l==p[rt].r)        return p[rt].l;    if(m<=p[rt<<1].sum)        return query(m,rt<<1);    else        return query(m-p[rt<<1].sum,rt<<1|1);}int main(){    int n,m,rank;    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        init(1,n,1);        rank=m%n;        if(m==0)            m=n;        printf("%d",query(m,1));        n--;        while(n--)        {            rank=(rank-1+m)%(n+1);            if(rank==0)                rank=n+1;            printf(" %d",query(rank,1));        }        printf("\n");    }    return 0;}