约瑟夫问题、约瑟夫环

约瑟夫问题（有时也称为约瑟夫斯置换，是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。又称“丢手绢问题”.）

1问题来历编辑

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。[1] 

17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

*问题分析与算法设计

约瑟夫问题并不难，但求解的方法很多；题目的变化形式也很多。这里给出一种实现方法。

题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示，可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记，为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每数到9时，将结构中的标记改为0，表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止。

一般形式编辑

约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3，1。

解决方法

方法一：

用链表环表示：首先构造链表环，之后删除第m个元素，往后继续数。用shoot表示1~m的循环。

int josephus1(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } listNode *head=creat(n); int shoot=1; listNode *p=head,*s=p; while(length(p)>1) { if (shoot++==m) {  s=p->next;  remove(head,p->val);  cout<<p->val<<"->";  shoot=1;  p=s; } else { head=p;             p=p->next; } } cout<<head->val<<endl; return head->val; } listNode *creat(int n) { listNode *head,*p,*s; head=(listNode*)malloc(sizeof(listNode)); p=head; int i=1; while(i<=n) { s=(listNode*)malloc(sizeof(listNode)); s->val=i; p->next=s; p=s; i++; } head=head->next; p->next=head; return head; }  listNode *remove(listNode *head,int val)  {  listNode *p,*s;  p=head;  while (p->val!=val)  {  s=p;  p=p->next;  }  if (p->val==val)  {  s->next=p->next;  return head;  }  }  int length(listNode* head)  {  if (head==NULL) return 0; if (head->next==head) return 1;  int length=0; listNode *p=head; while (p->next!=head) { p=p->next; length++; } return length+1;  }

方法二：

用C++，list容器模拟环，其中没有next。用迭代器++实现，代码如下：

 int josephus2(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } list<int> li; for (int i=1;i<=n;i++) { li.push_back(i); } list<int> ::iterator iter=li.begin(); while (li.size()>1) { for (int i=1;i<m;i++) { iter++; if (iter==li.end()) { iter=li.begin(); } } list<int> ::iterator next=++iter; if (next==li.end()) { next=li.begin(); } --iter;  cout<<*(iter)<<"->"; li.erase(iter); iter=next; } cout<<*(iter)<<endl; return *(iter); }

方法三：

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），空间复杂度为O（n），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1） mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式

f[1]=0;

f=(f+m) mod i; (i>1）

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

代码如下：

int josephus(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } int f=0; for (int i=1;i<=n;i++) {  f=(f+m)%i; } return f+1; }

此方法时间复杂度为O（n）,空间复杂度为O（1）。缺点是无法实现过程输出，只能求得最后一个元素的值。

完整代码如下;

其中  int josephus2(int n,int m)和  int josephus3(int n,int m)是利用list容器实现的两种思想相同，不同操作的代码。

#include <iostream>#include <list>#include<iterator >using namespace std;struct listNode{int val;listNode *next;}; int josephus(int n,int m); int josephus1(int n,int m); listNode *creat(int n); listNode *remove(listNode *head,int val); int length(listNode* head); int josephus2(int n,int m); int josephus3(int n,int m);void main(){int n=41;int m=3;cout<<josephus(n,m)<<endl;cout<<josephus1(n,m)<<endl;cout<<josephus2(n,m)<<endl;cout<<josephus3(n,m)<<endl;} int josephus(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } int f=0; for (int i=1;i<=n;i++) {  f=(f+m)%i; } return f+1; } int josephus1(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } listNode *head=creat(n); int shoot=1; listNode *p=head,*s=p; while(length(p)>1) { if (shoot++==m) {  s=p->next;  remove(head,p->val);  cout<<p->val<<"->";  shoot=1;  p=s; } else { head=p;             p=p->next; } } cout<<head->val<<endl; return head->val; } listNode *creat(int n) { listNode *head,*p,*s; head=(listNode*)malloc(sizeof(listNode)); p=head; int i=1; while(i<=n) { s=(listNode*)malloc(sizeof(listNode)); s->val=i; p->next=s; p=s; i++; } head=head->next; p->next=head; return head; }  listNode *remove(listNode *head,int val)  {  listNode *p,*s;  p=head;  while (p->val!=val)  {  s=p;  p=p->next;  }  if (p->val==val)  {  s->next=p->next;  return head;  }  }  int length(listNode* head)  {  if (head==NULL) return 0; if (head->next==head) return 1;  int length=0; listNode *p=head; while (p->next!=head) { p=p->next; length++; } return length+1;  }  int josephus2(int n,int m) { if (n<1||m<1) { return -1; } list<int> li; for (int i=1;i<=n;i++) { li.push_back(i); } list<int> ::iterator iter=li.begin(); while (li.size()>1) { for (int i=1;i<m;i++) { iter++; if (iter==li.end()) { iter=li.begin(); } } list<int> ::iterator next=++iter; if (next==li.end()) { next=li.begin(); } --iter;  cout<<*(iter)<<"->"; li.erase(iter); iter=next; } cout<<*(iter)<<endl; return *(iter); }  int josephus3(int n,int m)  {  if (n<=1)  {  return -1;  }  list<int> li;  for (int i=1;i<=n;i++)  {  li.push_back(i);  }  int shoot=1;  list<int> ::iterator next=li.begin();  int last=0;  list<int>::iterator iter=li.begin();  for (iter=li.begin();li.size()>1;) { if (shoot++==m) { next=++iter; if (next==li.end()) { next=li.begin(); } --iter; last=*iter;  cout<<last<<"->"; li.erase(iter); iter=next; shoot=1; } else { iter++; if (iter==li.end()) { iter=li.begin(); } } }  last=*iter;   cout<<last<<endl;  return last;  }

运行结构如下：