最短路径—Dijkstra算法

Dijkstra算法 

        Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。　

算法思想：

        设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

算法具体步骤：

    （1）初始时，S只包含源点，即S＝v，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 （若u不是v的出边邻接点）。

    （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

    （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

    （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。

算法举例说明：

        如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）

    图一 ：

 

 

算法执行过程如下表：

C++源代码：

#include<iostream>
#define MAX 200
#define Infinity 65535
using namespace std;

//边尾节点信息结构体
struct edgeNode
{
int no;   //尾接点序号
int cost;  //边权值
edgeNode *next; //其下一条邻接边尾节点指针
};

//节点信息结构体
struct vexNode
{
char info;  //节点名称
edgeNode *link; //与其相连的边的尾节点链表指针
};

struct Queue
{
int no; //队列中节点序号
int cost; //以此为尾节点的边的权值
};

//优先队列
Queue priQue[MAX];

//节点数组
vexNode adjlist[MAX];

//指定源点到节点i的最短路径花费
int lowcost[MAX];

//指定源点到节点i路径中，节点i的前驱节点序号
int parent[MAX];

//建立图邻接表
void createGraph(vexNode *adjlist,int *parent,int * lowcost,const int n,const int e)
{
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
{
cout<<"请输入节点"<<i<<"的名称：";
cin>>adjlist[i].info;
adjlist[i].link = NULL;
lowcost[i] = Infinity;
parent[i] = i;
}
edgeNode *p1;
int v1,v2;
for(i=1;i<=e;i++)
{
cout<<"请输入边"<<i<<"的起始节点与尾节点序号：";
cin>>v1>>v2;
p1 = (edgeNode*)malloc(sizeof(edgeNode));
p1->no = v2;
cout<<"此边的权值：";
cin>>p1->cost;
p1->next = adjlist[v1].link;
adjlist[v1].link = p1;
}
}

//当插入节点到优先队列时，保持队列优先性
void keep_min_heap(Queue *priQue,int &num,const int k)
{
int l = 2*k;
int r = 2*k + 1;
int smallest = k;
if(l<=num&&priQue[l].cost<priQue[k].cost)
smallest = l;
if(r<=num&&priQue[r].cost<priQue[smallest].cost)
smallest = r;
if(smallest != k)
{
Queue temp = priQue[smallest];
priQue[smallest] = priQue[k];
priQue[k] = temp;
keep_min_heap(priQue,num,smallest);
}
}

//插入节点到优先队列时并且保持队列优先性
void heap_insert(Queue *priQue,int &num,int no,int cost)
{
num +=1;
priQue[num].no = no;
priQue[num].cost = cost;
int i = num;
while(i>1&&priQue[i/2].cost>priQue[i].cost)
{
Queue temp = priQue[i];
priQue[i] = priQue[i/2];
priQue[i/2] = temp;
i = i/2;
}
}

//取出优先队列的队头元素
Queue heap_extract_min(Queue *priQue,int &num)
{
if(num<1)
return priQue[0];

Queue min = priQue[1];
priQue[1] = priQue[num];
num -=1;
keep_min_heap(priQue,num,1);
return min;
}

//打印指定源点带序号为i的点的最短路径
void print_it(int *parent,vexNode *adjlist,int v)
{
if(parent[v] == v)
cout<<"("<<v<<":"<<adjlist[v].info<<") ";
else
{
print_it(parent,adjlist,parent[v]);
cout<<"("<<v<<":"<<adjlist[v].info<<") ";
}
}

void main()
{
int cases;
cout<<"请输入案例的个数：";
cin>>cases;
while(cases--)
{
int n,e;
cout<<"请输入节点数：";
cin>>n;
cout<<"请输入边数：";
cin>>e;
//队列中的元素，初始为0
int num = 0;
int i;
//创建邻接表
createGraph(adjlist,parent,lowcost,n,e);
cout<<endl;
cout<<"从哪个节点开始：";
int v0;
cin>>v0;
int v =v0;
lowcost[v0] = 0;
cout<<endl;
Queue queue;
for(i=1;i<n;i++)
{
edgeNode *p = adjlist[v0].link;
while(p != NULL)
{
if(lowcost[v0] + p->cost<lowcost[p->no])
{
lowcost[p->no] = lowcost[v0] + p->cost;
parent[p->no] = v0;
heap_insert(priQue,num,p->no,lowcost[p->no]);
}
p = p->next;
}
queue = heap_extract_min(priQue,num);
v0 = queue.no;
}

for(i=1;i<=n;i++)
{
  int mincost = 0;
  cout<<"从点"<<adjlist[v].info<<"开始到"<<adjlist[i].info<<"的最短路径为："<<endl;
  print_it(parent,adjlist,i);
  cout<<endl;
  cout<<"距离为："<<lowcost[i]<<endl;
}
}
system("pause");
}

请输入案例的个数：1

请输入节点数：5

请输入边数：10

请输入节点1的名称：a

请输入节点2的名称：b

请输入节点3的名称：c

请输入节点4的名称：d

请输入节点5的名称：e

请输入边1的起始节点与尾节点序号：1 2

此边的权值：10

请输入边2的起始节点与尾节点序号：1 4

此边的权值：5

请输入边3的起始节点与尾节点序号：2 3

此边的权值：1

请输入边4的起始节点与尾节点序号：2 4

此边的权值：2

请输入边5的起始节点与尾节点序号：3 5

此边的权值：4

请输入边6的起始节点与尾节点序号：4 2

此边的权值：3

请输入边7的起始节点与尾节点序号：4 3

此边的权值：9

请输入边8的起始节点与尾节点序号：4 5

此边的权值：2

请输入边9的起始节点与尾节点序号：5 1

此边的权值：7

请输入边10的起始节点与尾节点序号：5 3

此边的权值：6

从哪个节点开始：1

从点a开始到a的最短路径为：

(1:a)

距离为：0

从点a开始到b的最短路径为：

(1:a) (4:d) (2:b)

距离为：8

从点a开始到c的最短路径为：

(1:a) (4:d) (2:b) (3:c)

距离为：9

从点a开始到d的最短路径为：

(1:a) (4:d)

距离为：5

从点a开始到e的最短路径为：

(1:a) (4:d) (5:e)

距离为：7

请按任意键继续. .

参考转载：

【1】http://www.2cto.com/kf/201111/110578.html

【2】http://2728green-rock.blog.163.com/blog/static/43636790200901211848284/