二叉查找树定义与C源码

　　二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉查找树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉查找树。
　　上述性质简称二叉查找树性质(BST性质)，故二叉查找树实际上是满足BST性质的二叉树。

二、特点

　　由BST性质可得：
　　（1） 二叉查找树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
　　（2） 二叉查找树中，各结点关键字是惟一的。注意：实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉查找树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于"，甚至可同时修改这两个性质。
　　（3） 按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。如下图所示的两棵树均是二叉查找树，它们的中序序列均为有序序列：2，3，4，5，7，8。

三、插入运算

　　在二叉查找树中插入新结点，要保证插入后仍满足BST性质。其插入过程是：
(a)若二叉查找树T为空，则为待插入的关键字key申请一个新结点，并令其为根；
(b)若二叉查找树T不为空，则将key和根的关键字比较：
 　　(i)若二者相等，则说明树中已有此关键字key，无须插入。
 　　(ii)若key<T→key，则将key插入根的左子树中。
 　　(iii)若key>T→key，则将它插入根的右子树中。
　　子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去，直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉查找树中，或者直到发现树中已有此关键字为止。
注意：输入序列决定了二叉查找树的形态。二叉查找树的中序序列是一个有序序列。所以对于一个任意的关键字序列构造一棵二叉查找树，其实质是对此关键字序列进行排序，使其变为有序序列。因此，人们又常常将二叉查找树称为二叉排序树。通常将这种排序称为树排序(Tree Sort)，可以证明这种排序的平均执行时间亦为O(nlgn)。对相同的输入实例，树排序的执行时间约为堆排序的2至3倍。因此在一般情况下，构造二叉排序树的目的并非为了排序，而是用它来加速查找，这是因为在一个有序的集合上查找通常比在无序集合上查找更快，“查找树"的名称也由此而来。

四、删除运算

　　从二叉查找树中删除一个结点，不能把以该结点为根的子树都删去，并且还要保证删除后所得的二叉树仍然满足BST性质。

一般步骤：
(a) 进行查找。查找时，令p指向当前访问到的结点，parent指向其双亲(其初值为NULL)。若树中找不到被删结点则返回，否则被删结点是p。
(b) 删去p。删去p时，应将p的子树(若有)仍连接在树上且保持BST性质不变。按p的孩子数目分三种情况进行处理。
　　　　(i)p是叶子(即它的孩子数为0)，无须连接p的子树，只需将p的双亲parent中指向p的指针域置空即可。
　　　　(ii)p只有一个孩子child，只需将child和p的双亲直接连接后，即可删去p。注意，p既可能是parent的左孩子也可能是其右孩子，而child可能是p的左孩子或右孩子，故共有4种状态。
　　　　(iii)p有两个孩子，先令q=p，将被删结点的地址保存在q中；然后找q的中序后继p，并在查找过程中仍用parent记住p的双亲位置。q的中序后继p一定是q的右子树中最左下的结点，它无左子树。因此，可以将删去q的操作转换为删去的p的操作，即在释放结点p之前将其数据复制到q中，就相当于删去了q。如下图BST中删除37：

五、查找运算

　　在BST中查找一个值。如果树中的某个值与要查找的值相等，则返回这个结点，否则报告查找不成功。
　　进行查找时，先用目标值与树根的值相比较。如果相等，则找到；否则，如果目标值大于根的值，则继续在根的右子树中继续查找；如果目标值小于根的值，则继续在根的左子树中继续查找。
　　相同的关键字集合可能构成多棵不同的BST树。查找目标过程中，从根到目标结点之间的路径上的结点个数就是要进行比较的次数。树越平衡，要比较的次数越少。
　　如果二叉树接近平衡，则在树中查找一个结点时，需要进行的比较次数接近O(log n)。如果树退化为一个直链，则树的查找类似于顺序查找，其比较次数接近于O(n) ，这是树查找中的最坏时间复杂度。
　　一般不能预测要建立的二叉树的树型。实际上，如果关键字的排列是随机的，则建立的二叉树的树型将比较平衡，查找的效率接近二分查找。

六、代码部分

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef char Key_t;typedef struct TreeNode{    Key_t key;    struct TreeNode *left, *right;    struct TreeNode *parent;}Tnode;//查到指定key的Tnode结点Tnode *search(Tnode *root, Key_t key){    if(NULL == root)        return NULL;    //二叉树二分查找    if(key > root->key)        return search(root->right, key);    else if(key < root->key)        return search(root->left, key);    else         return root;}//查找一个P节点的前驱节点Tnode *search_former(Tnode *p){    if(NULL == p)        return p;//P结点有左子树，此左子树下的最右子树便是P的前驱    if(p->left){        p = p->left;        while(p->right)            p = p->right;        return p;    }else{//P没有左子树，向上查找到，第一个开始折向右边的结点便是P的前驱        while(p->parent){            if(p->parent->right == p)                break;            p = p->parent;        }        return p->parent;    }}Tnode *search_latter(Tnode *p){    if(NULL == p)        return p;//P结点有右子树，此右子树下的最左子树便是P的后继    if(p->right){        p = p->right;        while(p->left)            p = p->left;        return p;    }else{//P没有右子树，向上查找到，第一个开始折向左边的结点便是P的后继        while(p->parent){            if(p->parent->left == p)                break;            p = p->parent;        }        return p->parent;    }}//delete_tnode中调用，是删除操作的递归部分。void part_of_dele(Tnode **root, Tnode *p){//没有左右子节点时，直接删除P结点，要将在P的父指向P的指针要置空    if(!p->left && !p->right){    //如果P节点的父节点不为空，即P不是根节点        if(p->parent){            if(p == p->parent->left)                p->parent->left = NULL;            else if(p == p->parent->right)                p->parent->right = NULL;        }else{            *root = NULL;        }    }//P有左节点，没有右节点时，分三种情况    else if(p->left && !p->right){    //P为根节点，设置根节点为p->left        if(!p->parent){            *root = p->left;        }      //P为父节点的左分支，将p->left的父节点指向P的父节点，p父节点左分支指向p->left        else if(p == p->parent->left){            p->parent->left = p->left;            p->left->parent = p->parent;        }      //P为父节点的右分支，将p->left的父节点指向P的父节点，p父节点右分支指向p->left        else if(p == p->parent->right){            p->parent->right = p->left;            p->left->parent = p->parent;        }    }//P有右节点，没有左节点时，分三种情况    else if(!p->left && p->right){    //P为根节点，设置根节点为p->right        if(!p->parent){            *root = p->right;        }      //P为父节点的左分支，将p->right的父节点指向P的父节点，p父节点左分支指向p->right        else if(p == p->parent->left){            p->parent->left = p->right;            p->right->parent = p->parent;        }      //P为父节点的右分支，将p->right的父节点指向P的父节点，p父节点右分支指向p->right        else if(p == p->parent->right){            p->parent->right = p->right;            p->right->parent = p->parent;        }    }//P即有左节点也有右节点时，查找P的后继结点q，将q值付于p，通过递归将q值删除    else if(p->left && p->right){        Tnode *q = search_latter(p);        p->key = q->key;        part_of_dele(root, q);        return;    }//将p指向的空间释放    free(p);    return;}//删除指定KEY的节点void delete_tnode(Tnode **root, Key_t key){//在二叉树中查找值为key的节点p，如果为NULL，意味着没有此节点    Tnode *p = search(*root, key);    printf("p->key:%d\n", p->key);    if(NULL == p)        return;    part_of_dele(root, p);}//insert_tnode中调用，是插入操作的递归部分。void part_of_insert(Tnode **root, Tnode *p){//当第一次调用时，设置根节点     if(NULL == *root){         p->parent = NULL;         *root = p;         return;     }//左分支为空，且key值小于根节点时，插入到左分支     else if(NULL == (*root)->left && (*root)->key > p->key){         p->parent = *root;         (*root)->left = p;         return;     }//右分支为空，且key值大于等于根节点时，插入到右分支     else if(NULL == (*root)->right && (*root)->key <= p->key){         p->parent = *root;         (*root)->right = p;         return;     }//当两分支都不空时，递归查找并插入到相应位置     if((*root)->key > p->key)         part_of_insert(&(*root)->left, p);     else if((*root)->key <= p->key)         part_of_insert(&(*root)->right, p);     return;}//插入节点操作int insert_tnode(Tnode **root, Key_t key){     Tnode *p = (Tnode *)malloc(sizeof(Tnode));     if(NULL == p)  return -1;     p->key = key;     p->left = p->right = p->parent = NULL;//递归插入部分     part_of_insert(root, p);     return 0;}//通过数组生成二叉树,root根节点,table数组指针,count数组大小int create_tree(Tnode **root, Key_t *table, int count){    int i;    int err = -1;    *root = NULL;    for(i = 0; i < count; ++i){        err = insert_tnode(root, table[i]);         if(err < 0)            break;    }    return err;}//中序遍历二叉树void mid_order(Tnode *root){    if(root == NULL)        return;    mid_order(root->left);    printf("%d ", root->key);    mid_order(root->right);    return;}//后序摧毁二叉树void destroy_tree(Tnode **root){    if(!*root)        return;    destroy_tree(&(*root)->left);    destroy_tree(&(*root)->right);    free(*root);    *root = NULL;    return;}int main(){    Tnode *root;    Tnode *node;    int err = -1;    Key_t keytable[] = {5,3,6,2,4,7};    err = create_tree(&root, keytable, sizeof(keytable) / sizeof(keytable[0]));    if(err < 0){        printf("tree create error!!!\n");        exit(-1);    }    err = insert_tnode(&root, 6);    err = insert_tnode(&root, 6);    mid_order(root);    printf("\n");    node = search_former(search(root, 3));    printf("%d\n", node->key);    node = search_latter(search(root, 3));    printf("%d\n", node->key);    delete_tnode(&root, 5);    delete_tnode(&root, 6);    delete_tnode(&root, 7);    delete_tnode(&root, 3);    mid_order(root);    printf("\n");    destroy_tree(&root);    return 0;}

引用：

http://www.cnblogs.com/xiaosuo/archive/2010/02/10/1656183.html
http://blog.csdn.net/touch_2011/article/details/6831924