树定义及二叉查找树实现

1、树结构：树结构的特点是前驱唯一，后驱不唯一，是典型的一对多的关系。

2、结点的层次和树的深度：结点的层次（level）从根开始定义，层次数为0 的结点是根结点，其子树的根的层次数为1。若结点在L 层，其子树的根就在L+1 层。对于层次为k（k > 0）的每个结点c，都有且仅有一个层次为k-1 的结点p与之对应，p 称为c 的父亲（parent）或父结点。若p 是c 的父亲，则c 称为p 的孩子（child）。父子之间的连线是树的一条边。在树中根结点没有父亲，其余结点只有一个父结点，但是却可能有多个孩子，同一结点的孩子相互称为兄弟（sibling）。树中结点的最大层次数称为树的深度（Depth）或高度。树中结点也有高度，其高度是以该结点为根的树的高度。

3、结点的度与树的度：结点拥有的子树的数目称为结点的度（Degree）。度为0 的结点称为叶子（leaf）或终端结点。度不为0 的结点称为非终端结点或分支结点。

4、路径：在树中k+1 个结点通过k条边连接构成的序列{（v0,v1）,（v1,v2）, … ,（vk-1,vk）| k ≥ 0}，称为长度为k的路径（path）。

5、二叉树定义：每个结点的度均不超过2 的有序树，称为二叉树（binary tree）。

6、满二叉树：高度为k并且有2 k+1-1 个结点的二叉树。

7、完全二叉树：若在一棵满二叉树中，在最下层从最右侧起去掉相邻的若干叶子结点，得到的二叉树即为完全二叉树。满二叉树必为完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树。

8、二叉树遍历：

⑴ 先序遍历（DLR）二叉树的操作定义为：
    若二叉树为空，则空操作；否则
    ① 访问根结点；
    ② 先序遍历左子树；
    ③ 先序遍历右子树。
⑵ 中序遍历（LDR）二叉树的操作定义为：
    若二叉树为空，则空操作；否则
    ① 中序遍历左子树；
    ② 访问根结点；
    ③ 中序遍历右子树。
⑶ 后序遍历（LRD）二叉树的操作定义为：
    若二叉树为空，则空操作；否则
    ① 后序遍历左子树；
    ② 后序遍历右子树；
    ③ 访问根结点。

9、二叉查找树：

或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 

①若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 

② 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 

③ 左、右子树也分别为二叉排序树

10.二叉查找树搜索算法是很简单的，使用递归遍历即可，简单实现如下：

1）树结构定义：

public class TreeNode{    private int key;    private TreeNode leftChild;    private TreeNode rightChild;    public TreeNode(int key)    {        this.key = key;        this.leftChild = null;        this.rightChild = null;    }    public int getKey()    {        return key;    }    public void setKey(int key)    {        this.key = key;    }    public TreeNode getLeftChild()    {        return leftChild;    }    public void setLeftChild(TreeNode leftChild)    {        this.leftChild = leftChild;    }    public TreeNode getRightChild()    {        return rightChild;    }    public void setRightChild(TreeNode rightChild)    {        this.rightChild = rightChild;    }}

2）树生成及搜索实现：

public class BinarySearchTree{    public TreeNode insertTree(TreeNode node, int key)    {        if (null == node)        {            node = new TreeNode(key);        }        else if (key < node.getKey())        {            if (node.getLeftChild() == null)            {                node.setLeftChild(new TreeNode(key));            }            else            {                insertTree(node.getLeftChild(), key);            }        }        else        {            if (node.getRightChild() == null)            {                node.setRightChild(new TreeNode(key));            }            else            {                insertTree(node.getRightChild(), key);            }        }        return node;    }    /**     * 输入root节点和要查找的key值     *      * @param root     * @param key     * @return 查到的节点     */    public TreeNode serach(TreeNode root, int key)    {        if (null == root)        {            return null;        }        if (key < root.getKey())        {            return serach(root.getLeftChild(), key);        }        else if (key > root.getKey())        {            return serach(root.getRightChild(), key);        }        else        {            return root;        }    }}

3）测试类：

public class BinarySearchTreeTest{    /**     * @param args     */    public static void main(String[] args)    {        int[] data = new int[] { 22, 10, 15, 13, 35, 24, 40 };        TreeNode node = new TreeNode(22);        BinarySearchTree s = new BinarySearchTree();        for (int i = 1; i < data.length; i++)        {            s.insertTree(node, data[i]);        }        System.out.println(s.serach(node, 13).getKey());    }}