乘法算法-Karatsuba算法

考虑两个n位整数x和y的乘法。基本的算法是O(n^2)的。以10进制为例，用bigint表示大整数类型，s[1]表示个位，len为位数。

按照小学数学多位数乘法法则，程序如下：

bigint mult(bigint a, bigint b){bigint c;c.len = a.len + b.len ;for(int i=1; i <= c.len; i++) c.s[i] = 0;for(int i=1; i <= a.len; i++)for(int j=1; j <= b.len; j++)c.s[i+j-1] += a.s[i]*b.s[j];for(int i=1; i<= c.len ; i++){ c.s[i+1] += c.s[i]/10; c.s[i] %= 10; }}

这个算法实际上是先计算每一位上的原始数，然后从低位往高位调整使得每一位都是0-9。这个算法需要原始数不上溢。对于第k位，满足i + j - 1 = k的数对(i, j)最多有n个，因此原始数最多81n，在时间可以承受的范围之内都不会溢出。

现在考虑分治算法。取m = (n+1)/2，把x写成10^m*a+b的形式，y写成10^m*c+d的形式，则a, b, c, d都是m位整数(如果不足m位，前面可以补0)。

递归方程为T(n) = 4T(n/2) + O(n)，其中系数4为四次乘法ac, bd, bc, ad，附加代价n为最后一个return语句的两次高精度加法。方程的解为T(n) = O(n^2)，和暴力乘法没有区别。

Anatolii Karatsuba在1962年提出一个改进方法（并由Knuth改进）：用ac和bd计算bc + ad，即：

bc + ad = ac + bd - (a - b) * (c - d)

这样一来，只需要进行三次递归乘法，即递归方程变为了T(n) = 3T(n/2)+O(n)，解为T(n) = O(nlog3) = O(n^1.585)，比暴力乘法快。

计算整数乘法的最快算法是基于FFT的，它的时间复杂度为O(n log n)。