费马小定理（MR素数探测法） v2.0

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <stdlib.h>#include <time.h> using namespace std;typedef long long LL; LL PowerMod(LL a, LL b, LL n){    if (b == 1) return a % n;    LL x = PowerMod(a, b >> 1, n);    x = x * x % n;    if (b & 1) x = x * a % n;    return x;} bool Witness(LL a, LL n){    LL m = n - 1;    int q = 0;    while((m&1) == 0)    {        q ++;        m >>= 1;    }    LL x = PowerMod(a, m, n);    if (x == 1 || x == n-1) return false;    while(q --)    {        x = x * x % n;        if (x == n-1) return false;    }    return true;} bool MillerRabin(int n, int T = 3){    if (n < 2) return false;    if (n == 2) return true;    if ((n&1) == 0) return false;    while(T --)    {        int a = rand() % (n-2) + 1;        if (Witness(a, n)) return false;    }    return true;} int main(){    srand(unsigned(time(NULL)));    int t;    scanf("%d", &t);    for (int i = 0; i < t; i ++)    {        int a, b;        scanf("%d%d", &a, &b);        i == 0 ? : puts("");        while(a <= b)        {            if (MillerRabin(a))            {                printf("%d\n", a);            }            a ++;        }    }    return 0;}

这段代码出自这里 首先感谢下作者，然后我从网上的其他地方找了一些资料，虽然还没看懂 但我在努力。先Mark下，回家看 这道题是解决SPOJ第二题的 

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回家写了一遍，洗了个澡，思路算理清楚了。

首先 围绕费马小定理 可知 a^(p-1) === 1 (mod p) p为奇质数

p-1必为偶数。

为了优化算法，

可知 设 m = p - 1;

m 必然可以写成 2^s * d 其中 d为奇数

则 a^m 就为 ( a ^ d ) ^ (2^s)

由 平方检测原理可知 若 x ^ 2 === 1 (mod p) 则 x的解为 1 或者 p-1。

所以这时候如果 a ^ d = 1 (mod p)或者 p - 1 (mod p) 则 a ^ m == 1 (mod p)

如果 a ^ d 不为1 (mod p)或者 p - 1 (mod p) 且 (a ^ d )^( 2 ^ k ) == 1 (mod p) 则p 必然不为质数

若 ( a ^ d ) ^ ( 2 ^ k ) == p - 1 (mod p) 等价于

( a ^ d ) ^ ( 2 ^ ( k + 1 ) ) == 1 (mod p)

根据以上条件可以确定p为伪素数，a只要取3个随机数值判断，如果都满足a ^ (p - 1) == 1 (mod p)则p很有可能为质数