数论读书笔记——因子分解法和费马数
来源:互联网 发布:ubuntu系统输入法 编辑:程序博客网 时间:2024/05/20 05:45
因子分解法和费马数
费马因子分解
我们现在给出一个有趣但不总是有效的因子分解法,这个方法是费马发现的,被称为费马因子分解法。
引理:如果n是一个正的奇数,那么n分解为两个正整数的积和表示成两个平方数是一一对应的。
为了实现费马因子分解法,我们通过寻找形如x^2-n的完全平方数来求方程n=x^2-y^2的根。因此,为了求n的分解,我们在整数序列
t^2-n,(t+1)^2-n,(t+2)^2-n....
中寻找完全平方数,其中t是大于根号n的最小整数。这个过程是有限终止的,这是因为平凡因子分解n=n*1可导出方程
n=((n+1)/2)^2-((n-1)/2)^2
费马数
整数Fn=2^(2n)+1被称为费马数。费马猜想这些整数都是素数。事实上,前面的几个都是素数,但是F5是合数。
定理:费马数的每个素因子都形如2^(n+2)*k+1
例题:F3=2^2^3+1=257的每个素因子一定形如2^5*k+1=32*k+1.又因为不存在小于或等于根号257的这种形式的素数,所以F3是素数
F6=2^2^6+1时,所有素因子的形式都是2^8k+1=256*k+1.因此我们只需用不超过根号F6的形如256*k+1的素数去做除法检验。即当k=1071的时候得到一个素因子。
费马数分解
这一段书上讲故事的跳过。。
利用费马数证明素数的无穷性
引理:设Fk=2^2^k+1表示第k个费马数,这里k为非负整数,那么对于所有的正整数n,我们有
F0F1FF2...F(n-1)=(Fn)-2
定理:设m和n为互异的非负整数,则费马数Fm和Fn是互素的
费马素数与几何
定理:一个正规n边行可用尺规来画出当且仅当n是一个2的非负次幂与非负个不同费马素数的乘积
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