数论——素数筛选法与整数的素因子分解

筛选法   

     求出n以内的素数，最快的应该是筛选法。

 筛选法的思路是：

     要求10000以内的素数，把1-10000都列出来，1不是素数，划掉；2是素数，所有2的倍数都不是素数，划掉；取出下一个幸存的数，划掉它的所有倍数；直到所有素数找完为止。

     这种做法的空间复杂度是O(n)，时间复杂度O(n/logn)。

const int Max = 1000005; bool prime[Max]={0};//0表示素数，1为非素数  //筛选n以内的素数 void getPrime(int n) {     int i,j;     int t;     for(i = 2; i <= n; i++)     {         if(!prime[i])         {             for(j = 2; (t=j*i) <= n; j++)                 prime[t] = 1;         }     } }

 

分解素因子

     唯一质因子分解定理：任意一个合数a仅能以一种方式，写成如下的乘积形式：

a = p1^e1*p2^e2*...*pr^er

    其中pi为素数，p1<p2<...<pr，且ei为正整数。例如数6000=2^4*3*5^3。

    素因子的分解技巧：首先a的某两个素因子不可能同时大于sqrt(a)，这样，先用筛选法求出sqrt(a)以内的所有素数，然后用a依次去mod这些素数，若能整除，则找到素因子，将素因子去掉，再继续找。最后若a>1，则a也是它的素因子。

 

const int Max = 100005; int isPrime[Max]={0}; int prime[Max/5],num=0; int factors[100],s=0;  void getPrime(int n) {     int i,j;     int t;     for(i = 2; i <= n; i++)     {         if(!isPrime[i])         {             prime[num++] = i;             for(j = 2; (t=i*j) <= n; j++)                 isPrime[t] = 1;         }     } }  void decompose(int n, int* factors) {     int te = (int)sqrt(n*1.0);     for(int i = 0; i<num&&prime[i]<=te; i++)     {         if(n%prime[i]==0)         {             factors[s++] = prime[i];             while(n%prime[i]==0)                 n = n/prime[i];         }     }     if(n > 1)         factors[s++] = n; }