分析学中的若干空间：

分析学中的若干空间：

 

1: 线性空间。(向量空间)
   设X是由抽象元素构成的非空集合，其中元素可以称为点，
   1) 对于X中任意两个元素x,y。我们定义加的运算
     z = x + y.
   2) 对于X中的元素x，和 纯量 a ，定义数乘运算。
     z = a * x.
   如果以上两种运算满足以下公理。则称X为线性空间。
   (a)  x + y = y + x   . 加法满足交换率。
   (b)  x + (y + z) = x + y + z   . 加法满足结合率。
   (c)  (a + b)x = ax + bx        . 数乘满足分配率。
   (d)  (x + y)a = ax + ay        . 数乘满足分配率。
   (e)  a(bx) = (ab)x             . 数乘满足结合率。
   (f)  1x = x                   
   (g)  0x = 0(0向量)              
  
   以上 纯量 a , b 为 实数时称为实线性空间。         
        纯量 a , b 为 复数时称为复线性空间。

 

2: 内积空间.
   在线性空间X的基础上我们定义一种运算成为内积运算 a = <x , y>。
   如果<,>满足一下公理则称这个空间为内积空间。
   (a) < x+y , z> = <x,z> + <y , z>
               _____
   (b) <x,y> = <y,x>  (Hermite对称性)
   (c) <ax , y> = a<x,y>
   (d) <x,x> >= 0
   (c) x = 0 等价于<x,x> = 0

 

   如果<x,y>的值为实数，称X为实线性空间。
   如果<x,y>的值为复数，称X为复线性空间。
   在内积空间中可以定义出著名的Schwarz不等式 |<x,y>|^2 <= <x,x>.<y,y>

 

3: 度量空间
   给空间X中任意两个点x , y 定义函数p(x,y)满足
   (a) p(x,y) = p(y,x)
   (b) p(x,y) >= 0
   (c) x = y 等价于 p(x,y) = 0
   (d) p(x,z) <= p(x,y) + p(y,z) 三角不等式。
   这样的空间称为度量空间。

 

4: 赋范空间
   如果X为线性空间。对每个元素x，定义一个实数|x|、满足
   (a) |x| >= 0
   (b) x = 0 <==> |x| = 0
   (c) |ax| = a|x|
   (d) |x+y| <= |x| + |y| 三角不等式。
   则称X为赋范空间。其中|x|为范数，也就是长度

 

5: 巴拿赫空间(Banach Space)
   如果赋范空间中的Cauchy列必为收敛列，则称此空间为完备的。完备的赋范空间称为Banach空间。
   实数系是完备的。Cauchy概念见分析学，实数系完备性5个等价定理中的一个
   (确界存在定理，Cauchy列必收敛，波尔查诺－维尔斯特拉斯极限点存在定理等。)

 

6: Hilbert空间
   完备的内积赋范空间中 ，<x,x> = |x|^2。则称该空间为希尔伯特空间。

 

7: Lp 空间
   设 f(x)为(a , b)上的复函数，P满足 [1, 无穷大].
   若f(x)为可测函数，且
        /b
        |   |      | p
        |   | f(x) |    dx < 无穷大 。
        /a  |      |

 

    则称f(x)属于 Lp(a,b)

 

    令
                      /b
   |       |        |   |      | p       1/p
   | f(x) |  =(   |   | f(x) |    dx )
   |       |       /a   |      |

 

  
   为Lp的范数 (还差一个内积定义，写的麻烦，定义内积后可以直接从L2(a,b)导出傅立叶级数了)

 

以上均为分析学中常用的空间，依赖于具体的实数长度的概念，如果把长度定义抽象成一种点点之间的接近关系(拓扑关系)，则可以定义出几何上的拓扑空间。这个偶还没怎么看懂。
   常见的Rn应该是一个 Hilbert空间 ， Banach空间。 也就是所谓的欧几里得空间。这是一个最特殊得空间之一。