hdu 4009 最小树形图模版

最小树形图（摘自百度百科）

         最小树形图，就是给有向带权图中指定一个特殊的点root，求一棵以root为根的有向生成树T，并且T中所有边的总权值最小。最小树形图的第一个算法是1965年朱永津和刘振宏提出的复杂度为O(VE)的算法。
         判断是否存在树形图的方法很简单，只需要以v为根作一次图的遍历就可以了，所以下面的算法中不再考虑树形图不存在的情况。
在所有操作开始之前，我们需要把图中所有的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进行了这步操作，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。

        首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小入边都选择出来了，如果这个入边集不存在有向环的话，我们可以证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话，我们就要将这个有向环缩成一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。

        上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。

         如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于我们一开始已经拿掉了所有的自环，我门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。所以我们最多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。

/*

这题的实现完全参考这位大牛的博客，在这作为最小树形图的模版；

代码如下：

*/

#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>const int inf =1000000000;int ne,nv;struct Edge{    int from,to,c;}edge[1100000];void add(int a,int b,int c){    edge[ne].from=a;    edge[ne].to=b;    edge[ne++].c=c;}int idx[1100],inc[1100],vis[1100],pre[1100];int directTree(int root){    int i,k,res=0,from,to,index;    while(1)    {        for(i=0;i<nv;i++){ idx[i]=-1;vis[i]=-1;inc[i]=inf; } //初始化        for(i=0;i<ne;i++) //找出每个点的最小入边        {            to=edge[i].to;            from=edge[i].from;            if(edge[i].c>=inc[to]||to==from)continue;            pre[to]=from;            inc[to]=edge[i].c;        }        inc[root]=0;pre[root]=root;        for(i=0;i<nv;i++){ res+=inc[i]; if(inc[i]==inf) return -1; } //如果其中有一条没有入边，则最小树形图不存在，返回－1        for(i=index=0;i<nv;i++) //找环，并把环缩成一点，新点的序号从0开始        {            if(vis[i]==-1)            {                to=i;                while(vis[to]==-1){ vis[to]=i; to=pre[to];}                if(vis[to]!=i||to==root) continue;                for(k=pre[to];k!=to;k=pre[k]) idx[k]=index; //缩点                idx[to]=index++;            }        }        if(index==0)break;//如果图中无环，说明最小树形图已找到，退出        for(i=0;i<nv;i++) if(idx[i]==-1) idx[i]=index++; //继续添加剩下的点        for(i=0;i<ne;i++) //更新边        {            to=edge[i].to;            edge[i].to=idx[edge[i].to];            edge[i].from=idx[edge[i].from];            edge[i].c-=inc[to];        }        nv=index; root=idx[root];//更新新点的数目，和root的序号    }    return res;}struct node{    int x,y,z;}person[1100];int dist(int a,int b){ return abs(person[a].x-person[b].x)+abs(person[a].y-person[b].y)+abs(person[a].z-person[b].z); }int main(){    int i,j,n,X,Y,Z,p;    while(scanf("%d%d%d%d",&nv,&X,&Y,&Z)!=EOF)    {        if(nv==0) break;        for(i=1,ne=0;i<=nv;i++)        {            scanf("%d%d%d",&person[i].x,&person[i].y,&person[i].z);            add(0,i,person[i].z*X);        }        for(i=1;i<=nv;i++)        {            scanf("%d",&n);            while(n--)            {                scanf("%d",&p);                if(p==i)continue;                if(person[i].z>=person[p].z)                    add(i,p,dist(i,p)*Y);                else add(i,p,dist(i,p)*Y+Z);            }        }        nv++;        printf("%d\n",directTree(0));    }    return 0;}