poj1960 二分法 数论

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大致题意：

一根两端固定在两面墙上的杆 受热弯曲后变弯曲

求前后两个状态的杆的中点位置的距离

 

解题思路：

几何和二分的混合体

 

 

 

 

如图，蓝色为杆弯曲前，长度为L

红色为杆弯曲后，长度为s

h是所求

依题意知

S=(1+n*C)*L

 

又从图中得到三条关系式;

（1）       角度→弧度公式  θr = 1/2*s

（2）       三角函数公式  sinθ= 1/2*L/r

（3）       勾股定理  r^2 – ( r – h)^2 = (1/2*L)^2

 

把四条关系式化简可以得到

 

 

逆向思维解二元方程组：

要求（1）式的h，唯有先求r

但是由于（2）式是三角函数式，直接求r比较困难

 

因此要用顺向思维解方程组：

在h的值的范围内枚举h的值，计算出对应的r，判断这个r得到的(2)式的右边  与 左边的值S的大小关系  （ S= (1+n*C)*L ）

 

很显然的二分查找了。。。。。

那么问题只剩下 h 的范围是多少了

下界自然是0 (不弯曲)

关键确定上界

题中提及到

Input data guarantee that no rod expands by more than one half of its original length.

意即输入的数据要保证没有一条杆能够延伸超过其初始长度的一半

就是说 S max = 3/2 L

理论上把上式代入（1）(2)方程组就能求到h的最小上界，但是实际操作很困难

因此这里可以做一个范围扩展，把h的上界扩展到 1/2L  ，不难证明这个值必定大于h的最小上界，那么h的范围就为  0<=h<1/2L

这样每次利用下界low和上界high就能得到中间值mid，寻找最优的mid使得(2)式左右两边差值在精度范围之内，那么这个mid就是h

 

精度问题是必须注意的

由于数据都是double，当low无限接近high时， 若二分查找的条件为while(low<high)，会很容易陷入死循环，或者在得到要求的精度前就输出了不理想的“最优mid”

精度的处理方法参考我的程序

 

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;#define exp 0.000001double len,l,n,c,h,r,low,high,s;int main(){while(1){scanf("%lf%lf%lf",&l,&n,&c);if(l==-1 && n==-1 && c==-1)break;len=(1+n*c)*l;        low=0;high=l/2;while(high-low>exp){            h=(high+low)/2;        r=(4*pow(h,2)+pow(l,2))/(8*h);            s=2*r*asin(l/(2*r));if(len>s)low=h;elsehigh=h;}printf("%0.3lf\n",low);}return 0;}