【搞基数据结构】【树套树】ZOJ2112 Dynamic Rankings kth_number

动态查询区间第k小，包括两个操作Q x y k和C i j，查询区间x y的第k小和把第i个数安替换成j。

静态的区间k小可以用划分树或者归并树，动态的就只能树套树或者树状数组套主席树，树状数组套主席树暂时还没有写出来，这里讲一下树套树的两种写法。

首先考虑到线段树可以用于区间查询，而平衡树可以查询某个数字的名次【小于或者小于等于这个数字的个数】，这样考虑到用线段树套平衡树的方式实现查询某个数字在区间x y上的名次，于是得到建树方式是：按区间建立线段树，线段树的每一个结点建立一棵平衡树，因为无法直接查询第k小，那么只能采用二分答案的方式，查询数字区间x y上的名次，这样查询的总复杂度是二分答案一个logn，线段树上一个logn，平衡树上一个logn，总的复杂度就是log^3n；更新就是线段树的单点更新方式，对于结点每个平衡树先把原来的值删掉，再把新的值加上去，总复杂度是log^2n。空间复杂度，线段树一共logn层，每层n个结点，所以总的空间是nlogn。

还有另一种树套树的方式可以把查询的复杂度变成log^2n，不过要先离线读入然后离散化。

这里首先考虑如何用线段树查询整个数列的第k大，首先将数列离散化然后按值域建立一棵线段树，将每个点插入并维护区间里插入的数字个数，每次查询的时候先看左子树有没有k个数，如果有就查询左子树的第k小，否则去右子树查询第k-左子树，当线段树上的区间l==r时返回l就是离散化以后的答案。

区间查询的话，就是每个节点建一个下标平衡树，查询左子树有多少>=x && <=y的个数，超过k就在左子树查询，否则去右子树查询。

这种建树方式需要离线读入，如果要强制在线的话可以将值域建成一棵线段树，然后每次更新时不更新到底，而是打标记，需要查询时再向下建树，不过这种方法我没有实现过，因为不知道怎么打标记。

下面两个是两种不同建树方式的提交情况，0168是按下标建树，2535是按值建树。

我是采用线段树套treap，因为treap比较好写。

按下标建树：

int id(int l,int r){ return l+r | l!=r; }int tree[N<<1];struct treap{ int key,wht,count,sz,ch[2]; }tp[N*20];int nodecount;void init(){ tp[0].sz=0; tp[0].wht=-INF; tp[0].key=-1; nodecount=0; }void update(int x){ tp[x].sz=tp[tp[x].ch[0]].sz+tp[x].count+tp[tp[x].ch[1]].sz; }void rotate(int &x,int t){ int y=tp[x].ch[t]; tp[x].ch[t]=tp[y].ch[!t]; tp[y].ch[!t]=x;  update(x); update(y); x=y;}void insert(int &x,int t){   if(! x)    { x=++nodecount; tp[x].key=t; tp[x].wht=rand(); tp[x].count=1;      tp[x].ch[0]=tp[x].ch[1]=0;    }else if(tp[x].key==t) tp[x].count++;    else    { int k=tp[x].key<t; insert(tp[x].ch[k],t);      if(tp[x].wht<tp[tp[x].ch[k]].wht) rotate(x,k);    }    update(x);}void erase(int &x,int t){   if(tp[x].key==t)    {   if(tp[x].count==1)        { if(! tp[x].ch[0] && ! tp[x].ch[1]){ x=0; return; }          rotate(x,tp[tp[x].ch[0]].wht<tp[tp[x].ch[1]].wht); erase(x,t);        }else tp[x].count--;    }else erase(tp[x].ch[tp[x].key<t],t);    update(x);}int select(int x,int k){   if(! x) return 0;    if(k<tp[x].key) return select(tp[x].ch[0],k);    int q=0,p=tp[tp[x].ch[0]].sz+tp[x].count;    if(k>tp[x].key) q=select(tp[x].ch[1],k);    return p+q;}int a[N],n,m,ans;void treeinsert(int l,int r,int i,int x){   insert(tree[id(l,r)],x); if(l==r) return; int m=(l+r)>>1;    if(i<=m) treeinsert(l,m,i,x); if(i>m) treeinsert(m+1,r,i,x);}void del(int l,int r,int i,int x){   erase(tree[id(l,r)],x); if(l==r) return; int m=(l+r)>>1;    if(i<=m) del(l,m,i,x); if(i>m) del(m+1,r,i,x);}void query(int l,int r,int L,int R,int x){   if(L<=l && R>=r){ ans+=select(tree[id(l,r)],x); return; }    int m=(l+r)>>1; if(L<=m) query(l,m,L,R,x); if(R>m) query(m+1,r,L,R,x);}int main(){   int tt; scanf("%d",&tt);    while (tt--)    { scanf("%d%d",&n,&m); init(); memset(tree,0,sizeof(tree));      for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); treeinsert(1,n,i,a[i]); }      while (m--)      { char s[5]; int x,y,c; scanf("%s",s);        if(s[0]=='C')        { scanf("%d %d",&x,&y); del(1,n,x,a[x]); a[x]=y;          treeinsert(1,n,x,a[x]);        }else        { scanf("%d %d %d",&x,&y,&c); int l=0,r=INF,mid;          while (l<r)          { ans=0; mid=(l+r)>>1; query(1,n,x,y,mid);            if(ans<c) l=mid+1; else r=mid;          }          printf("%d\n",l);        }       }    }    return 0;}

按值建树：

#define N 60010#define M 10010struct treap{    int key,wht,count,sz,ch[2];}tp[N*15];int tree[N<<1];int nodecount,root;void init(){ tp[0].sz=0; tp[0].wht=-INF; nodecount=0; root=0;}void update(int x){tp[x].sz=tp[tp[x].ch[0]].sz+tp[x].count+tp[tp[x].ch[1]].sz;}void rotate(int &x,int t){ int y=tp[x].ch[t]; tp[x].ch[t]=tp[y].ch[!t]; tp[y].ch[!t]=x;  update(x); update(y); x=y;}void insert(int &x,int t){   if(! x)    { x=++nodecount; tp[x].key=t; tp[x].wht=rand();      tp[x].count=1; tp[x].ch[0]=tp[x].ch[1]=0;    }else if(tp[x].key==t)  tp[x].count++;    else    { int k=tp[x].key<t; insert(tp[x].ch[k],t);      if(tp[x].wht<tp[tp[x].ch[k]].wht) rotate(x,k);    }    update(x);}void erase(int &x,int t){   if(tp[x].key==t)    {   if(tp[x].count==1)        {   if(! tp[x].ch[0] && ! tp[x].ch[1]) { x=0; return; }            rotate(x,tp[tp[x].ch[0]].wht<tp[tp[x].ch[1]].wht);            erase(x,t);        } else tp[x].count--;    } else erase(tp[x].ch[tp[x].key<t],t);    update(x);}int select(int x,int t){      if(! x) return 0; if(tp[x].key>t) return select(tp[x].ch[0],t);return tp[x].count+tp[tp[x].ch[0]].sz+select(tp[x].ch[1],t);}int a[N],b[N],ord[M][5],lb;int n,m,tt;int search(int x){ int l=1,r=b[0],mid; while (l<=r){ mid=(l+r)>>1;if(b[mid]==x) return mid;  if(b[mid]<x) l=mid+1;  else r=mid-1;}}void treeinsert(int l,int r,int i,int x){insert(tree[IDX(l,r)],x); if(l==r) return; int m=(l+r)>>1;if(i<=m) treeinsert(l,m,i,x); else treeinsert(m+1,r,i,x);}void treedel(int l,int r,int i,int x){erase(tree[IDX(l,r)],x); if(l==r) return; int m=(l+r)>>1;if(i<=m) treedel(l,m,i,x); else treedel(m+1,r,i,x);}int query(int l,int r,int x,int y,int k){ if(l==r) return l; int m=(l+r)>>1;  int ans=select(tree[IDX(l,m)],y)-select(tree[IDX(l,m)],x);  if(ans>=k) return query(l,m,x,y,k); return query(m+1,r,x,y,k-ans);}int main (){scanf("%d",&tt);while (tt--){scanf("%d%d",&n,&m); b[0]=1; lb=0;memset(tree,0,sizeof(tree)); init();for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); b[++lb]=a[i]; }for(int i=1;i<=m;i++){char s[5]; int x,y,c; scanf("%s",s);if(s[0]=='Q'){ scanf("%d %d %d",&x,&y,&c);  ord[i][1]=1; ord[i][2]=x; ord[i][3]=y; ord[i][4]=c;}else{ scanf("%d %d",&x,&y);  ord[i][1]=2; ord[i][2]=x; ord[i][3]=y; b[++lb]=y;}}sort(b+1,b+1+lb);for(int i=1;i<=lb;i++) if(b[i]!=b[b[0]]) b[++b[0]]=b[i];for(int i=1;i<=n;i++){ a[i]=search(a[i]); treeinsert(1,b[0],a[i],i); }for(int i=1;i<=m;i++){if(ord[i][1]==1)printf("%d\n",b[query(1,b[0],ord[i][2]-1,ord[i][3],ord[i][4])]);else{ treedel(1,b[0],a[ord[i][2]],ord[i][2]);  a[ord[i][2]]=search(ord[i][3]);  treeinsert(1,b[0],a[ord[i][2]],ord[i][2]);}}}return 0;}