常用算法设计方法之回溯法

回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

1、回溯法的一般描述

可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。

解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。

我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j（j<i）元组（x1，x2，…，xj）一定也满足D中仅涉及到x1，x2，…，xj的所有约束，i=1，2，…，n。换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及到x1，x2，…，xj的约束之一，则以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）一定也违反D中仅涉及到x1，x2，…，xi的一个约束，n≥i>j。因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。

回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树，它可以这样构造：

设Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，…，n。从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权xi+1(1) ，xi+1(2) ，…，xi+1(mi) ，i=0，1，2，…，n-1。照这种构造方式，E中的一个n元组（x1，x2，…，xn）对应于T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x1，x2，…，xn）的一个前缀I元组（x1，x2，…，xi）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1，x2，…，xi，反之亦然。特别，E中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。

因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1，x2，…，xn满足约束集D的全部约束。在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（x1i）、前缀2元组（x1，x2）、…，前缀I元组（x1，x2，…，xi），…，直到i=n为止。

在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。

【问题】   组合问题

问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。

例如n=5，r=3的所有组合为：

（1）1、2、3     （2）1、2、4     （3）1、2、5

（4）1、3、4     （5）1、3、5     （6）1、4、5

（7）2、3、4     （8）2、3、5     （9）2、4、5

（10）3、4、5

则该问题的状态空间为：

E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 }   其中：S={1，2，3，4，5}

约束集为：   x1<x2<x3

显然该约束集具有完备性。

 

 

2、回溯法的方法

对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T，利用T的层次结构和D的完备性，在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为：

从T的根出发，按深度优先的策略，系统地搜索以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点，而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索，以提高搜索效率。具体地说，当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时，即“激活”该状态结点，以便继续往深层搜索；否则跳过对以该状态结点为根的子树的搜索，而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯，一边“杀死”其儿子结点已被搜索遍的祖先结点，直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点，即转向其未被搜索的一个儿子结点继续搜索。

在搜索过程中，只要所激活的状态结点又满足终结条件，那么它就是回答结点，应该把它输出或保存。由于在回溯法求解问题时，一般要求出问题的所有解，因此在得到回答结点后，同时也要进行回溯，以便得到问题的其他解，直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被搜索过为止。

例如在组合问题中，从T的根出发深度优先遍历该树。当遍历到结点（1，2）时，虽然它满足约束条件，但还不是回答结点，则应继续深度遍历；当遍历到叶子结点（1，2，5）时，由于它已是一个回答结点，则保存（或输出）该结点，并回溯到其双亲结点，继续深度遍历；当遍历到结点（1，5）时，由于它已是叶子结点，但不满足约束条件，故也需回溯。

3、回溯法的一般流程和技术

在用回溯法求解有关问题的过程中，一般是一边建树，一边遍历该树。在回溯法中我们一般采用非递归方法。下面，我们给出回溯法的非递归算法的一般流程：

 

在用回溯法求解问题，也即在遍历状态空间树的过程中，如果采用非递归方法，则我们一般要用到栈的数据结构。这时，不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点，而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。

例如在组合问题中，我们用一个一维数组Stack[ ]表示栈。开始栈空，则表示了树的根结点。如果元素1进栈，则表示建立并遍历（1）结点；这时如果元素2进栈，则表示建立并遍历（1，2）结点；元素3再进栈，则表示建立并遍历（1，2，3）结点。这时可以判断它满足所有约束条件，是问题的一个解，输出（或保存）。这时只要栈顶元素（3）出栈，即表示从结点（1，2，3）回溯到结点（1，2）。

【问题】   组合问题

问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。

采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：

（1）   a[i+1]>a，后一个数字比前一个大；

（2）   a-i<=n-r+1。

按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：

首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下：

【程序】

# define   MAXN   100

int a[MAXN];

void comb(int m,int r)

{   int i,j;

i=0;

a=1;

do {

if (a-i<=m-r+1

{   if (i==r-1)

{   for (j=0;j<r;j++)

printf(“%4d”,a[j]);

printf(“/n”);

}

a++;

continue;

}

else

{   if (i==0)

return;

a[--i]++;

}

}   while (1)

}

 

main()

{   comb(5,3);

}

【问题】   填字游戏

问题描述：在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。

可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个的填入的整数，寻找下一个解。

为找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序（如从小到大的顺序）每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足要求。在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数，都不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。

回溯法找一个解的算法：

{   int m=0,ok=1;

int n=8;

do{

if (ok)   扩展;

else     调整;

ok=检查前m个整数填放的合理性;

}   while ((!ok||m!=n)&&(m!=0))

if (m!=0)   输出解;

else     输出无解报告；

}

如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。相应的算法如下：

回溯法找全部解的算法：

{   int m=0,ok=1;

int n=8;

do{

if (ok)

{   if (m==n)

{   输出解；

调整；

}

else   扩展;

}

else     调整;

ok=检查前m个整数填放的合理性;

}   while (m!=0);

}

为了确保程序能够终止，调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验，即要求按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定一个被检验的顺序，按这个顺序逐一形成候选者并检验。从小到大或从大到小，都是可以采用的方法。如扩展时，先在新位置填入整数1，调整时，找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。将上述扩展、调整、检验都编写成程序，细节见以下找全部解的程序。

【程序】

# include <stdio.h>

# define   N   12

void write(int a[ ])

{   int i,j;

for (i=0;i<3;i++)

{   for (j=0;j<3;j++)

printf(“%3d”,a[3*i+j]);

printf(“/n”);

}

scanf(“%*c”);

}

 

int b[N+1];

int a[10];

int isprime(int m)

{   int i;

int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};

if (m==1||m%2=0)   return 0;

for (i=0;primes>0;i++)

if (m==primes)   return 1;

for (i=3;i*i<=m;)

{   if (m%i==0)   return 0;

i+=2;

}

return 1;

}

 

int checkmatrix[ ][3]={   {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},

{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};

int selectnum(int start)

{   int j;

for (j=start;j<=N;j++)

if (b[j]) return j

return 0;

}

 

int check(int pos)

{   int i,j;

if (pos<0)     return 0;

for (i=0;(j=checkmatrix[pos])>=0;i++)

if (!isprime(a[pos]+a[j])

return 0;

return 1;

}

 

int extend(int pos)

{   a[++pos]=selectnum(1);

b[a][pos]]=0;

return pos;

}

 

int change(int pos)

{   int j;

while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)

b[a[pos--]]=1;

if (pos<0)     return –1

b[a[pos]]=1;

a[pos]=j;

b[j]=0;

return pos;

}

 

void find()

{   int ok=0,pos=0;

a[pos]=1;

b[a[pos]]=0;

do {

if (ok)

if (pos==8)

{   write(a);

pos=change(pos);

}

else   pos=extend(pos);

else   pos=change(pos);

ok=check(pos);

}   while (pos>=0)

}

 

void main()

{   int i;

for (i=1;i<=N;i++)

b=1;

find();

}

【问题】   n皇后问题

问题描述：求出在一个n×n的棋盘上，放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。

这是来源于国际象棋的一个问题。皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互捕捉。如图所示，一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上，则棋盘上凡打“×”的位置上的皇后就能与这个皇后相互捕捉。

 

1   2   3   4   5   6   7   8

×       ×

×     ×     ×

×   ×   ×

×   ×   Q   ×   ×   ×   ×   ×

×   ×   ×

×     ×     ×

×       ×

×         ×

从图中可以得到以下启示：一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后，且一条斜线上也只有一个皇后。

求解过程从空配置开始。在第1列至第m列为合理配置的基础上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理时，就找到了一个解。接着改变第n列配置，希望获得下一个解。另外，在任一列上，可能有n种配置。开始时配置在第1行，以后改变时，顺次选择第2行、第3行、…、直到第n行。当第n行配置也找不到一个合理的配置时，就要回溯，去改变前一列的配置。得到求解皇后问题的算法如下：

{   输入棋盘大小值n；

m=0;

good=1;

do {

if (good)

if (m==n)

{   输出解；

改变之，形成下一个候选解;

}

else   扩展当前候选接至下一列；

else   改变之，形成下一个候选解；

good=检查当前候选解的合理性；

} while (m!=0);

}

在编写程序之前，先确定边式棋盘的数据结构。比较直观的方法是采用一个二维数组，但仔细观察就会发现，这种表示方法给调整候选解及检查其合理性带来困难。更好的方法乃是尽可能直接表示那些常用的信息。对于本题来说，“常用信息”并不是皇后的具体位置，而是“一个皇后是否已经在某行和某条斜线合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一个皇后，引入一个一维数组（col[ ]），值col表示在棋盘第i列、col行有一个皇后。例如：col[3]=4，就表示在棋盘的第3列、第4行上有一个皇后。另外，为了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，设定col[0]的初值为0当回溯到第0列时，说明程序已求得全部解，结束程序运行。

为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易方便，引入以下三个工作数组：

（1）   数组a[ ]，a[k]表示第k行上还没有皇后；

（2）   数组b[ ]，b[k]表示第k列右高左低斜线上没有皇后；

（3）   数组 c[ ]，c[k]表示第k列左高右低斜线上没有皇后；

棋盘中同一右高左低斜线上的方格，他们的行号与列号之和相同；同一左高右低斜线上的方格，他们的行号与列号之差均相同。

初始时，所有行和斜线上均没有皇后，从第1列的第1行配置第一个皇后开始，在第m列col[m]行放置了一个合理的皇后后，准备考察第m+1列时，在数组a[ ]、b[ ]和c[ ]中为第m列，col[m]行的位置设定有皇后标志；当从第m列回溯到第m-1列，并准备调整第m-1列的皇后配置时，清除在数组a[ ]、b[ ]和c[ ]中设置的关于第m-1列，col[m-1]行有皇后的标志。一个皇后在m列，col[m]行方格内配置是合理的，由数组a[ ]、b[ ]和c[ ]对应位置的值都为1来确定。细节见以下程序：

【程序】

# include   <stdio.h>

# include   <stdlib.h>

# define   MAXN   20

int n,m,good;

int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

 

void main()

{   int j;

char awn;

printf(“Enter n:   “);   scanf(“%d”,&n);

for (j=0;j<=n;j++)   a[j]=1;

for (j=0;j<=2*n;j++)   cb[j]=c[j]=1;

m=1;   col[1]=1;     good=1;   col[0]=0;

do {

if (good)

if (m==n)

{   printf(“列/t行”);

for (j=1;j<=n;j++)

printf(“%3d/t%d/n”,j,col[j]);

printf(“Enter a character (Q/q for exit)!/n”);

scanf(“%c”,&awn);

if (awn==’Q’||awn==’q’)   exit(0);

while (col[m]==n)

{   m--;

a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;

}

col[m]++;

}

else

{   a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;

col[++m]=1;

}

else

{   while (col[m]==n)

{   m--;

a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;

}

col[m]++;

}

good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];

} while (m!=0);

}

试探法找解算法也常常被编写成递归函数，下面两程序中的函数queen_all()和函数queen_one()能分别用来解皇后问题的全部解和一个解。

【程序】

# include   <stdio.h>

# include   <stdlib.h>

# define   MAXN   20

int n;

int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

void main()

{   int j;

printf(“Enter n:   “);   scanf(“%d”,&n);

for (j=0;j<=n;j++)   a[j]=1;

for (j=0;j<=2*n;j++)   cb[j]=c[j]=1;

queen_all(1,n);

}

 

void queen_all(int k,int n)

{   int i,j;

char awn;

for (i=1;i<=n;i++)

if (a&&b[k+i]&&c[n+k-i])

{   col[k]=i;

a=b[k+i]=c[n+k-i]=0;

if (k==n)

{   printf(“列/t行”);

for (j=1;j<=n;j++)

printf(“%3d/t%d/n”,j,col[j]);

printf(“Enter a character (Q/q for exit)!/n”);

scanf(“%c”,&awn);

if (awn==’Q’||awn==’q’)   exit(0);

}

queen_all(k+1,n);

a=b[k+i]=c[n+k-i];

}

}

采用递归方法找一个解与找全部解稍有不同，在找一个解的算法中，递归算法要对当前候选解最终是否能成为解要有回答。当它成为最终解时，递归函数就不再递归试探，立即返回；若不能成为解，就得继续试探。设函数queen_one()返回1表示找到解，返回0表示当前候选解不能成为解。细节见以下函数。

【程序】

# define   MAXN   20

int n;

int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

int queen_one(int k,int n)

{   int i,found;

i=found=0;

While (!found&&i<n)

{   i++;

if (a&&b[k+i]&&c[n+k-i])

{   col[k]=i;

a=b[k+i]=c[n+k-i]=0;

if (k==n)   return 1;

else

found=queen_one(k+1,n);

a=b[k+i]=c[n+k-i]=1;

}

}

return found;

}