数论笔记 · 佩尔方程(连分数)
来源:互联网 发布:js获取ul下面的全部li 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 03:17
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佩尔方程实际上并不是佩尔提出的,而是费尔马提出,却被欧拉误记为佩尔提出,因此佩尔方程的名称沿用至今。身为不定方程的特殊一类,佩尔方程与连分数,二次型,代数论等等有着重要的联系,因而是数论中最经典的篇章之一。令d 为非平方数的正整数,那么佩尔方程(Pell Equation)为:
由于篇幅的原因,通常记为
其中 pn 和 qn 称为连分数之多项式,对于任意的a 均为一次式,它们的比值称为第 n 个渐进值渐进分数。对于渐进值来讲,有着递归关系式:
在华罗庚的《数论导引》中介绍了连分数一些性质定理,例如:有理数必可表示为有限连分数,无理数的连分数表示法唯一等等。
则比值 p/q 必为 a 的一个渐进值。
由递归方程式
可以得到
常有解,二次方程
不可解的充要条件为:
这样就可以根据 p、q、P、Q 的递归关系式计算出根式形式的无理数的连分数展开。
假设 p、q 为上述方程的解,考虑其对应的佩尔方程极其基础解系:
则有
当 (p,q) 为包含所有基础解,这样所有的解集由下式递归构成
计算佩尔型方程的互不等价的基本解集主要依赖 PQA 算法和 Lagrange-Matthews-Mollin 算法。
各项递归按照佩尔方程递归关系计算得到。其中各项初始值为: a 的初始值 a0 相当于佩尔方程中的 a1
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