连分数

来源：互联网发布：惠州惠阳区网络问政编辑：程序博客网时间：2024/04/30 08:26

连分数

分类：数论2013-07-27 19:11 197人阅读评论(0) 收藏举报

对于连分数，我们可以表示为：

对于无理数，ai一定是无穷数列，反之，对于有理数，ai一定是有穷数列。

对于上式中的p与q，有递推式：

而对于sqrt(n)来说，ai中的首项为一个单独的整数，除了它后面的都会循环。

下面我们来分析一个关于连分数的题目。

题目：连分数

题意：给两个整数n和k，n<=10^6，k<=10^9，sqrt(n)可以表示为连分数，求满足数列到ak的结果。

分子分母对1000000007取余。

对于这个问题，当然是先求出数列ai，求这个直接倒啊倒。

关键是有了这个ai数列，如何求到第k位的结果。这个当然有循环节，然后在一个循环节内是可以先处理出结果。

然后再计算有多少个这样的循环节，这部分就可以快速幂，剩下的部分就直接multi暴力吧。

此过程中还有一个重要的点，就是：

怎么处理的？

在本题由于sqrt(n)的整数部分没有存进a数组，我们知道p1=a1，p2=a1a2+1，所以我们把上述矩阵表示为：

所以这样完全就解决问题了，如果是q，最后面那个矩阵应该是0，1

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#include <iostream>  
#include <string.h>  
#include <stdio.h>  
#include <algorithm>  
#include <math.h>  
  
using namespace std;  
typedef long long LL;  
const int N=50005;  
const double eps=1e-8;  
const LL MOD=1000000007;  
  
LL a[N];  
LL cnt;  
  
struct Matrix  
{  
    LL m[2][2];  
};  
  
Matrix per={1,0,0,1};  
  
Matrix multi(Matrix a,Matrix b)  
{  
    int i,j,k;  
    Matrix c;  
    for(i=0;i<2;i++)  
    {  
        for(j=0;j<2;j++)  
        {  
            c.m[i][j]=0;  
            for(k=0;k<2;k++)  
                c.m[i][j]+=a.m[i][k]%MOD*b.m[k][j]%MOD;  
            c.m[i][j]%=MOD;  
        }  
    }  
    return c;  
}  
  
Matrix matrix_mod(Matrix a,LL k)  
{  
    Matrix p=a,ans=per;  
    while(k)  
    {  
        if(k&1)  
        {  
            ans=multi(ans,p);  
            k--;  
        }  
        k>>=1;  
        p=multi(p,p);  
    }  
    return ans;  
}  
  
LL gcd(LL a,LL b)  
{  
    return b? gcd(b,a%b):a;  
}  
  
void Loop(LL n)  
{  
    double k=sqrt(n*1.0);  
    LL q=1,p=(LL)k,tmp=1;  
    double first=k-p;  
    while(1)  
    {  
        tmp=q;  
        q=n-p*p;  
        LL G=gcd(tmp,q);  
        q/=G;tmp/=G;  
        k=(sqrt(1.0*n)+p)*tmp/q;  
        a[cnt++]=(LL)k;  
        p=abs(p-a[cnt-1]*q);  
        if(fabs(k-a[cnt-1]-first)<eps) break;  
    }  
}  
  
int main()  
{  
    LL n,k,p,q,x,y;  
    Matrix ans1,ans2,ans3,A;  
    while(cin>>n>>k)  
    {  
        k++;  
        cnt=0;  
        Loop(n);  
        ans1=ans2=per;  
        A.m[0][1]=1;  
        A.m[1][0]=1;  
        A.m[1][1]=0;  
        for(int i=cnt-1;i>=0;i--)  
        {  
            A.m[0][0]=a[i];  
            ans1=multi(ans1,A);  
        }  
        x=k%cnt;  
        y=k/cnt;  
        ans1=matrix_mod(ans1,y);  
        for(int i=x-1;i>=0;i--)  
        {  
            A.m[0][0]=a[i];  
            ans2=multi(ans2,A);  
        }  
        ans3=multi(ans2,ans1);  
        p=ans3.m[1][0]%MOD;  
        q=ans3.m[1][1]%MOD;  
        LL tmp=q; q=p;  
        p=((LL)sqrt(n*1.0)%MOD*p%MOD+tmp)%MOD;  
        cout<<p<<"/"<<q<<endl;  
    }  
    return 0;  
}  