[NOI2008]志愿者招募——线性规划模型的网络流问题

题目描述：

一个持续n天的活动，其中第i 天至少需要Ai 个志愿者。 

一共有M 类志愿者。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci 元。

用尽量少的费用招募足够的志愿者。

分析：

这题直接建模比较困难 = = || ，可以考虑用数学手段建模：

设Xi表示i类志愿者选多少个，则题目可以描述为：

X1+X2+X3 ≥ A1

X2+X3 ≥ A2

X3+X4 ≥ A3 （= = 就是形如这个的方程组啦，这里是举个例子

最小化：Σ Xi * Ci

可以发现这是一个线性规划的模型。

对于网络流，我们知道，其流量平衡方程有着类似形式，不过有更多限制：

1.用等号连接。

2.每个变量出现两次，一次正一次负。

3.所有变量均非负。

再考虑将本题模型进一步转换：

X1+X2+X3 - Y1 - A1 = 0

X2+X3 - Y2 - A2 = 0

X3+X4 - Y3 - A3 = 0

观察发现，同一未知数所出现的方程一定是一段连续的(题意)。考虑每一行(包括最后的空行)减去上一行，得到新的方程组：

每个未知数刚好出现两次，且一正一负，至此，网络流模型就基本建成了。 （ >_< 

把每个方程看作一个点，+即为入流，-即为出流，常数项来自源或汇。

这样，新建源S、汇T，连好边后，跑一遍最小费用最大流即可。

最后总结一下：在普通建模方法遭遇瓶颈时，可以考虑转换成理性愉悦的线性规划模型，从数学方法入手，建立模型。

（ Orz Beyond The Void