树状数组的概念

来源：互联网发布：上瘾网络剧爱奇艺编辑：程序博客网时间：2024/05/17 01:51

树状数组

1、i=i+lowbit(i)向上走，用于更新a数组 ->c[i]

//解释i=i+lowbit(i)表示把i未尾1补0的过程。

2、i=i-lowbit(i)用于求a[1]到a[i]的和，可以通过求c[i]的和来得.

//解释i=i-lowbit(i)表示把i的最后一个1减去。

1、概述

树状数组(binary indexed tree)，是一种设计新颖的数组结构，它能够高效地获取数组中连续n个数的和。概括说，树状数组通常用于解决以下问题：数组{a}中的元素可能不断地被修改，怎样才能快速地获取连续几个数的和？

2、树状数组基本操作

传统数组(共n个元素)的元素修改和连续元素求和的复杂度分别为O(1)和O(n)。树状数组通过将线性结构转换成伪树状结构（线性结构只能逐个扫描元素，而树状结构可以实现跳跃式扫描），使得修改和求和复杂度均为O(lgn)，大大提高了整体效率。

给定序列（数列）A，我们设一个数组C满足

C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]

其中，k为i在二进制下末尾0的个数，i从1开始算！

则我们称C为树状数组。

下面的问题是，给定i，如何求2^k?

答案很简单：2^k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)

下面进行解释：

以i=6为例（注意：a_x表示数字a是x进制表示形式）：

(i)_10 = (0110)_2

(i-1)_10=(0101)_2

i xor (i-1) =(0011)_2

i and (i xor (i-1)) =(0010)_2

2^k = 2

C[6] = C[6-2+1]+…+A[6]=A[5]+A[6]

数组C的具体含义如下图所示：

当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，

i=i-2(i)

i=i+2(i)表示把未尾1补0的过程如：i=4;

a[4] à 10000 c[i] i=i+lowbit(i)(2k) àlowbit(i)=i&i^(i-1)=i&(-i)=2(k)

a[5]à i=5 101 i=5+1=6 110 ->i=6+2=8 1000->i=

i=13 加2(0)=14 +2(1)=16

a[7]被修改：i=7 111 i=i+2(0)=7+1=8 1000 i=i+2(3)=16

这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

树状数组能快速求任意区间的和：A[i] + A[i+1] + … + A[j]，设sum(k) = A[1]+A[2]+…+A[k]，则A[i] + A[i+1] + … + A[j] = sum(j)-sum(i-1)。

下面给出树状数组的C语言实现：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21 //求2^k

int lowbit(int t)

{ return t & ( t ^ ( t - 1 ) ); }

//求前n项和

int sum(int end)

{ int sum = 0;

while(end > 0)

{

sum += in[end];

end -= lowbit(end);

}

return sum;

//增加某个元素的大小

void plus(int pos, int num)

{

while(pos <= n)

{

in[pos] += num;

pos += lowbit(pos);

}

3、扩展——二维树状数组

一维树状数组很容易扩展到二维，二维树状数组如下所示：

C[x][y] = sum(A[i][j])

其中，x-lowbit[x]+1 <= i<=x且y-lowbit[y]+1 <= j <=y

（2）二维树状数组：

一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作

1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）

2) 查询某个子矩阵里所有数字的和

要求对每次查询，输出结果

5、总结

树状数组最初是在设计压缩算法时发现的（见参考资料1），现在也会经常用语维护子序列和。它与线段树（具体见：数据结构之线段树）比较在思想上类似，比线段树节省空间且编程复杂度低，但使用范围比线段树小（如查询每个区间最小值问题）。

C++源程序L

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;
ifstream in("树状数组.in");
ofstream out("树状数组.out");

#define max 16
int n,a[max],c[max],m;
int lowbit(int i)
{
    return (i&-i);
}
void genxin(int i,int x)
{
while(i<=n)
{
c[i]=c[i]+x;//等于前面已有的元素加上现在读入的数
i=i+lowbit(i);//i未尾补0
}
}
int getsum(int i)
{
int sum=0;
while(i>0)
{
sum=sum+c[i];//累和
i=i-lowbit(i);//把i未尾的1减去
}
return sum;
}
void init()
{
     in>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
        in>>a[i];
        genxin(i,a[i]);
}
}

void print()
{
     cout<<"原数组为：";
     for(int i=1;i<=n;i++)
     cout<<a[i]<<" ";
     cout<<endl<<" 树状数组为： ";
     for(int i=1;i<=n;i++)
     cout<<c[i]<<" ";
     cout<<endl;
}
int main()
{
    init();
    print();
    cout<<"输入m求和"<<endl;
    cin>>m;
    cout<<getsum(m)<<endl<<endl;
    system("pause");

}

二、树状数组可以扩充到二维。
问题：一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询，输出结果。

一维树状数组很容易扩展到二维，在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为：

C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中，
    x-lowbit(x) + 1 <= i <= x,
    y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.

例：举个例子来看看C[][]的组成。
     设原始二维数组为：
　 A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19},
         {a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29},
         {a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}，
{a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}};
那么它对应的二维树状数组C[][]呢？

记:
B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,...} 这是第一行的一维树状数组
B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 这是第二行的一维树状数组
B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 这是第三行的一维树状数组
B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 这是第四行的一维树状数组
那么：
C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,...
   这是A[][]第一行的一维树状数组

C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24,
C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,...
   这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组

C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,...
   这是A[][]第三行的一维树状数组

C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,...
    这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组

搞清楚了二维树状数组C[][]的规律了吗？仔细研究一下,会发现:

（1）在二维情况下，如果修改了A[i][j]=delta,则对应的二维树状数组更新函数为：

 private void Modify(int i, int j, int delta){                  A[i][j]+=delta;            for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))        for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y)){          C[x][y] += delta;                }     }

（2）在二维情况下，求子矩阵元素之和∑ a[i][j](前i行和前j列)的函数为

    int Sum(int i, int j){      int result = 0;      for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) {        for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) {            result += C[x][y];        }      }    return result;   }比如：    Sun(1,1)=C[1][1];  Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];...    Sun(2,1)=C[2][1];  Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];...    Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];

例：测试一下：

import java.util.Arrays;public class Test{      int[][] A;//原二维数组      int[][] C;//对应的二维树状数组      public Test(){            A=new int[5][6];         C=new int[5][6];                 for(int i=1;i<5;i++)           for(int j=1;j<6;j++)              Modify(i,j,1);//给A[][]每个元素加1          for(int i=1;i<5;i++){            for(int j=1;j<6;j++)              System.out.print(A[i][j]+"  ");//输出A[][]            System.out.println();          }         System.out.println(Sum(3,4));//求子二维数组的和         Modify(2,3,4);//将A[2][3]加4         System.out.println(Sum(3,4));//显示修改后的和               }            private int lowbit(int t){         return t&(-t);       }       int Sum(int i, int j){      int result = 0;      for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) {        for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) {            result += C[x][y];        }      }    return result;   }     private void Modify(int i, int j, int delta){                  A[i][j]+=delta;            for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))        for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y)){          C[x][y] += delta;                }     }     public static void main(String args[]){       Test t=new Test();     }   }         C:\java>java  Test1  1  1  1  11  1  1  1  11  1  1  1  11  1  1  1  11216