模重复平方算法

在RSA算法里头经常要用到“求x的n次方模m”这样的过程，通常使用O(log(n))的模重复平方算法来实现，提高效率。

其实这是大二学的《信息安全数学基础》里面的内容，那时为了考试需要（手算+写出很罗嗦的过程），还专门写了代码放在Blog空间里考试的时候用—……

同样O(log(n))的递归算法其实很容易理解：

/* C */int square(int x) { return x * x; } /* 这里可不能用宏哟 */int fast_mod(int x, int n, int m){    if (n == 0)        return 1;    else if (n % 2 == 0)        return square(fast_mod(x, n / 2, m)) % m;    else         return x * fast_mod(x, n - 1, m) % m;}#Pythonfast_mod = lambda x, n, m: 1 if n == 0 else fast_mod(x, n / 2, m) ** 2 % m if n % 2 == 0 else x * fast_mod(x, n - 1, m) % m;Scheme(define (even? n) (= (remainder n 2) 0))(define (mod-fast x n m)    (define (square x) (* x x))     (cond ((= n 0) 1)          ((even? n) (remainder (square (mod-fast x (/ n 2) m)) m))           (else (remainder (* x (mod-fast x (- n 1) m)) m))))(mod-fast 79 24 33);

但是SICP要求写一个迭代版的。印象中我是记得可以把 n 写成二进制（比如n=13， 1101），然后一位一位地推。

试推了一下从高位到低位，倒是挺简单的，记B[i]为第 i 位的值，通过A[i] = A[i+1]^2 * x^B[i] 从高到低计算出A[0]，就得到结果了。但是问题是，为了从高到低计算，又得一次递归，似乎不能满足要求。

于是只好反过来，从低位往高位推。这个过程其实也挺简单的，举例来说：

当n=13，即二进制的 1101 = 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0时，最终结果 

ans = x^n % m
    = x^(1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0) % m
    = [x^(1 * 2^3)] * [x^(1 * 2^2)] * [(x ^ (0 * 2^1)] * [x ^ (1 * 2^0)] % m

也就是说，从低到高，在第 i 位的时候，将 x^(Bit[i] * 2^i) % m 乘到结果中即可。这里可以稍微变换一下：仅当Bit[i] == 1的时候，将x^(2^i) % m乘进去即可。所以这里可以用一个辅助的变量 b 来保存 x^(2^i) % m，在每次迭代的过程中 b = b^2 % m 。

于是实现就容易了：

/* C */int fast_mod_iter(int x, int n, int m){    int a = 1, b = x; //i=0的时候b = x^(2^0) = x    while (n)    {        if (n % 2 == 1)            a = a * b % m;        b = b * b % m;        n /= 2;    }    return a;}#Pythondef fast_mod(x, n, m):     a = 1     b = x     while True:        if n == 0:            return a        if n % 2 == 1:            a = a * b % m         b = b * b % m         n /= 2;Scheme(define (even? n) (= (remainder n 2) 0))(define (mod-fast-iter x n m)    (define (iter a b n)        (cond ((= n 0) a)              ((even? n)                (iter a (remainder (* b b) m) (/ n 2)))              (else                (iter (remainder (* a b) m) (* b b) (/ (- n 1) 2)))))    (iter 1 x n))(mod-fast-iter 79 24 33);

转自大牛 http://www.felix021.com/blog/read.php?2112