0024算法笔记——【贪心算法】单源最短路径问题

      1、问题描述

     给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

    2、Dijkstra算法

     Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。
    其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。

    Dijkstra算法可描述如下，其中输入带权有向图是G=(V,E)，V={1,2,…，n}，顶点v是源。c是一个二维数组，c[i][j]表示边(i,j)的权。当(i,j)不属于E时，c[i][j]是一个大数。dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。在Dijkstra算法中做贪心选择时，实际上是考虑当S添加u之后，可能出现一条到顶点的新的特殊路，如果这条新特殊路是先经过老的S到达顶点u,然后从u经过一条边直接到达顶点i，则这种路的最短长度是dist[u]+c[u][i]。如果dist[u]+c[u][i]<dist[i]，则需要更新dist[i]的值。步骤如下：

   (1) 用带权的邻接矩阵c来表示带权有向图, c[i][j]表示弧<vi,vj>上的权值。设S为已知最短路径的终点的集合,它的初始状态为空集。从源点v经过S到图上其余各点vi的当前最短路径长度的初值为：dist[i]=c[v][i], vi属于V.
   (2) 选择vu, 使得dist[u]=Min{dist[i] | vi属于V-S},vj就是长度最短的最短路径的终点。令S=S U {u}.

   (3) 修改从v到集合V-S上任一顶点vi的当前最短路径长度:如果 dist[u]+c[u][j]< dist[j] 则修改 dist[j]= dist[u]+c[u][j]. 
   (4) 重复操作(2),(3)共n-1次.

算法具体实现如下：

//4d5 贪心算法 单源最短路径问题#include "stdafx.h"#include <iostream> #include <fstream>  #include <string> using namespace std; const int N = 5;const int M = 1000;ifstream fin("4d5.txt"); template<class Type>void Dijkstra(int n,int v,Type dist[],int prev[],Type c[][N+1]);void Traceback(int v,int i,int prev[]);//输出最短路径 v源点，i终点int main(){int v = 1;//源点为1int dist[N+1],prev[N+1],c[N+1][N+1];cout<<"有向图权的矩阵为："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){for(int j=1; j<=N; j++){fin>>c[i][j];                cout<<c[i][j]<<" ";  }cout<<endl;}Dijkstra(N,v,dist,prev,c);for(int i=2; i<=N; i++){cout<<"源点1到点"<<i<<"的最短路径长度为:"<<dist[i]<<"，其路径为";Traceback(1,i,prev);cout<<endl;}return 0;}template<class Type>void Dijkstra(int n,int v,Type dist[],int prev[],Type c[][N+1]){bool s[N+1];for(int i=1; i<=n; i++){dist[i] = c[v][i];//dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度s[i] = false;if(dist[i] == M){prev[i] = 0;//记录从源到顶点i的最短路径i的前一个顶点}else{prev[i] = v;}}dist[v] = 0;s[v] = true;for(int i=1; i<n; i++){int temp = M;int u = v;//上一顶点//取出V-S中具有最短特殊路径长度的顶点ufor(int j=1; j<=n; j++){if((!s[j]) && (dist[j]<temp)){u = j;temp = dist[j];}}s[u] = true;//根据作出的贪心选择更新Dist值for(int j=1; j<=n; j++){if((!s[j]) && (c[u][j]<M)){Type newdist = dist[u] + c[u][j];if(newdist < dist[j]){dist[j] = newdist;prev[j] = u;}}}}}//输出最短路径 v源点，i终点void Traceback(int v,int i,int prev[]){if(v == i){cout<<i;return;}Traceback(v,prev[i],prev);cout<<"->"<<i;}

     例，如图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程如下表所示：

      3、贪心选择性质

    从V-S中选择具有最短特殊路径的顶点u，从而确定从源到u的最短路径长度dist[u]。为什么从源到u没有更短的其他路径？如图，如果存在一条从源到u且长度比dist[u]更短的路，设这条路初次走出S之外到达的顶点为x(x属于V-S)，然后徘徊于S内外若干次，左后离开S到达u。在这条路上分别记d(v,x),d(x,u)和d(v,u)为顶点v到顶点x,顶点x到顶点u，顶点v到顶点u的路长。则有：

    dist[x]<=dist[u]与u是当前贪心选择矛盾！

    4、最优子结构性质

     该性质描述为：如果S(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么S(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
     假设S(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有S(i,j)=S(i,k)+S(k,s)+S(s,j)。而S(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径S'(k,s)，那么S'(i,j)=S(i,k)+S'(k,s)+S(s,j)<S(i,j)。则与S(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

     5、计算复杂性

     对于一个具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循环体需要O(n)时间。这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要O(n^2)时间。算法的其余部分所需要的时间不超过O(n^2)。

     程序运行结果为：