单源最短路径--贪心算法

一个点（源点）到其余各个顶点的最短路径。也叫做“单源最短路径”Dijkstra。
Dijkstra的主要思想：每次找到离源点最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径
用flag标示该点是否在离源点最近的集合中
算法步骤：
1.初始时，S只包含源点，即P＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:Q={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
2.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入P中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
3.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
4.重复步骤2和3直到所有顶点都包含在P中
时间复杂度是O(N^2)。其中每次找到离1号顶点最近的顶点的时间复杂度是O(N)，这里可以用“堆”来优化使降低到O(logN)，
  另外对于边数M少于N^2的稀疏图来说（M<<N^2的图称为稀疏图，而M较大的图称为稠密图），我们可以用邻接表来代替邻接矩阵存储，使得整个时间复杂度优化到O(N+M)logN。

在最坏的情况下M就是N^2,这样的话(N+M)logN要比N^2还要大，但是大多数情况下并不会有那么多边，因此(M+N)logN要比N^2小很多。

C++实现：

#include<iostream>using namespace std;int main(){int edgs;int points;int dis[10];int flag[10];int infinity = 9999999;cin>>points>>edgs;int edg[10][10];//初始化有向图的边for(int i=1;i<=points;i++){for(int j=1;j<=points;j++){if(i==j){edg[i][j]=0;}else{edg[i][j]=infinity;}}}//给有向图的边赋权值int point1,point2,quanzhi;for(i=1;i<=edgs;i++){cin>>point1>>point2>>quanzhi;edg[point1][point2]=quanzhi;}for(i=1;i<=points;i++){dis[i]=edg[1][i];}//设置标记，对访问过的顶点i赋予flag[i]=1，没访问的i赋予flag[i]=0for(i=1;i<=points;i++){flag[i]=0;}flag[1]=1;int min,u;//核心算法for(i=1;i<=points;i++){min=infinity;for(int j=1;j<points;j++)//源点到源点不用比较，总的循环次数少一次{if(flag[j]==0&&dis[j]<min)//核心思想：依次比较出离源点最近的点{min=dis[j];u=j;}}flag[u]=1;//找出离源点最近的点后开始更新dis里面的源点到各个点的值是否最小for(int v=1;v<=points;v++){if(edg[u][v]<infinity){if(dis[v]>dis[u]+edg[u][v]) //dis[1][v] 主要是找出离源点最近点的出边来比较{dis[v]=dis[u]+edg[u][v];}}}}for(i=1;i<=points;i++){cout<<dis[i]<<" ";}cout<<endl;}

结果：