n皇后问题的解决 （QS2算法）

n皇后问题的解决 （QS2算法）

 

    8皇后问题是一个广为人知的问题：将8个皇后放在8×8的棋盘上，皇后之间不能互相攻击，求各种放法。更一般的，把8换成n，其解法个数是随n成几何级增长的，因此程序运行时间也是几何级别的。现在我们关注这样一个问题，既然不能很快的把所有解都枚举出来，那么我们能不能很快的求出一个解来呢？这就是n皇后问题。

    有人说，我就用纯搜索来搜第一个解，会不会快呢？你可以试一试，当n增大的时候会变的非常非常慢。除了搜索，还能有什么更好的办法呢？下面介绍一个QS2算法，可以在当n大到500000的时候仍能在几分钟之内得到解。

描述算法前，先定义一些数据结构：

1.                  状态表示。用queen[i] (1<=i<=n)存储1..n个一个排列，用它表示第i列的皇后所放的行数。这样表示的作用是，同一行同一列都不会有互相攻击的情况发生，发生攻击的只可能是对角线。

2.                  对角线标记。对于第i行第j列的元素，它有两个方向的对角线。假设以左下角为坐标（1，1）点，那么一条对角线是斜率为正的，另外一条是斜率为负的。对于斜率为正的对角线上的元素，i-j为定值，对斜率为负的对角线上的元素，i+j为定值，因此用i+j来标记该元素所处的负对角线，用i-j来标记其所处的正对角线。用数组dn[ ]来表示第i+j条负对角线上有多少个皇后，用dp[ ]来表示第i-j条正对角线上的皇后的个数。定义在某条对角线上，碰撞的个数为这条对角线上皇后的个数减1。

3.                  被攻击的皇后。用一个数组attack[ ]来存储所有被攻击的皇后的行数。此数组用于加速程序的运行。

 

    有了这些数据结构，就可以开始介绍QS2算法了。

算法如下：

1.       repeat

2.         随机产生初始状态queen[i]

3.         collisions = compute_collisions(queen, dn, dp)  （计算每个对角线上皇后的个数，dp[]和dn[]，并计算总的碰撞次数collisions）

4.         设limit = C1 * collisions （该变量用于界定程序中每种状态产生的碰撞次数，C1是一个参数，这里设为0.45）

5.         number_of_attacks = compute_attacks(queen, dn, dp, attack)  （计算被攻击的皇后的个数）

6.         loopcount = 0

7.         repeat

8.           for k <- 1 to number_of_attacks do

9.             i <- attack[k]

10.         随机选择一个1..n之间的数j

11.         if 交换queen[i]和queen[j]可以减少总的碰撞次数collisions then

12.           进行这次交换，并重新计算dn[], dp[]和collisions

13.           if collisions = 0 then 找到解，结束。

14.           if collisions < limit then do

15.             limit <- C1*collisions

16.             重新计算number_of_attacks = compute_attacks(queen, dn, dp, attack)

17.           end do

18.         end do

19.       end do

20.       loopcount <- loopcount + number_of_attacks

21.     until loopcount > C2 * n  （C2是一个常量，这里设为32）

22.   until collisions = 0

 

    通观这个算法，发现其实很简单，就是先随机产生了一种排列方案，然后找一个被攻击的皇后，随机选择另一个皇后，让她们交换位置，如果这个交换可以使总的碰撞次数减少，那么就进行交换。由于这个算法是随机的，不能保证从最开始随机产生的queen[i]状态一定可以得到一组解，因此，程序在运行一段时间之后，如果没有解产生，就重新产生一组初始值（这个过程是通过loopcount变量来控制的）。

再看看这个算法的性能。由于程序里面充满了随机化，对这个程序的性能的分析也无法直接从代码中来分析其复杂度。它的性能是通过实验来分析的。下面这个表列出了一些统计数字：

 

皇后个数n                         1000              10000            100000           500000

被测试的皇后对个数          14742            138762           1386974         6981193

进行交换的皇后对个数       436                4333              43256            216407

 

    表中第2行被测试的皇后对个数，是指程序第11行对两个皇后交换后是否可以减少碰撞个数的测试。表中第3行进行交换的皇后对个数，是指程序第12行交换两个皇后的次数。

    从表中我们不难发现，随着n增大，测试皇后对和交换皇后对这两个操作都是呈线性增加的。也就是说，对由一个初始状态出发到产生解，所用时间是线性的。但是，如果不能从某个随机的初始状态产生出解呢？虽说若不能出解，程序运行一段时间后会重新产生初始状态，但如果不能产生解的初始状态很多，那么程序的性能也会大大下降。事实上这个顾虑是多余的，实验验证，当n超过1000的时候，几乎总可以从第一个初始值出发找到解！

    这个算法介绍完了，最后，我想说说我对这个算法的感觉。首先，这个算法是实验性的。其性能的评估没法用传统的复杂度分析方法来进行，必须通过实验来验证。当我看到了这个算法，如果不是亲自去写一遍，我根本无法相信它会这么快的出解，这也是它神奇的地方。其次，这个算法的思路跳出了解决n皇后问题一般所能想到的回溯搜索方法，取而代之的是一个随机化贪心算法。虽然说它是不确定的，可是它却快速的解决了问题。这为人们提供了一个思路，当遇到传统的搜索很难奏效的时候，随机化贪心也许会另辟捷径，收到意想不到的效果。