0025算法笔记——【贪心算法】最小生成树问题

     1、问题描述

     设G =(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。E中每条边(v,w)的权为c[v][w]。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。

     网络的最小生成树在实际中有广泛应用。例如，在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w)的权c[v][w]表示建立城市v和城市w之间的通信线路所需的费用，则最小生成树就给出了建立通信网络的最经济的方案。 

     2、MST性质

     设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。如果(u,v)ÎE，且uÎU，vÎV-U，且在所有这样的边中，(u,v)的权c[u][v]最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，它以(u,v)为其中一条边。这个性质有时也称为MST性质。 

     MST性质的证明：如图所示，假设G的任何一颗最小生成树都不包含边(u,v)。将边(u,v)添加到G的一颗最小生成树T上，将产生含有边(u,v)的圈，并且在这个圈上有一条不同于(u,v)的边(u',v')，使得u'ÎU，v‘ÎV-U。将边(u',v')删去，得到G的另一颗生成树T'。由于c[u][v]<=c[u'][v']，所以T'的耗费<=T的耗费。于是T'是一颗含有边(u,v)的最小生成树，这与假设矛盾。

     3、Prim算法

     设G=(V,E)是连通带权图，V={1,2,…,n}。构造G的最小生成树的Prim算法的基本思想是：首先置S={1}，然后，只要S是V的真子集，就作如下的贪心选择：选取满足条件iÎS，jÎV-S，且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S=V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。 

     算法具体代码如下：

//4d6 贪心算法 最小生成树 Prim算法#include "stdafx.h"#include <fstream>  #include <string> #include <iostream> using namespace std; #define inf 9999;const int N = 6;ifstream fin("4d6.txt");template<class Type>void Prim(int n,Type c[][N+1]);int main(){int c[N+1][N+1];cout<<"连通带权图的矩阵为："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){for(int j=1; j<=N; j++){fin>>c[i][j];                cout<<c[i][j]<<" ";  }cout<<endl;}cout<<"Prim算法最小生成树选边次序如下："<<endl;Prim(N,c);return 0;}template<class Type>void Prim(int n,Type c[][N+1]){Type lowcost[N+1];//记录c[j][closest]的最小权值int closest[N+1];//V-S中点j在S中的最邻接顶点bool s[N+1];s[1] = true;//初始化s[i],lowcost[i],closest[i]for(int i=2; i<=n; i++){lowcost[i] = c[1][i];closest[i] = 1;s[i] = false;}for(int i=1; i<n; i++){Type min = inf;int j = 1;for(int k=2; k<=n; k++)//找出V-S中使lowcost最小的顶点j{if((lowcost[k]<min)&&(!s[k])){min = lowcost[k];j = k;}}cout<<j<<' '<<closest[j]<<endl;s[j] = true;//将j添加到S中for(int k=2; k<=n; k++)//将j添加到S中后，修改closest和lowcost的值{if((c[j][k]<lowcost[k] && (!s[k]))){lowcost[k] = c[j][k];closest[k] = j;}}}}

        上述代码中，数组closest[j]是j(jÎV-S)在S中的领接顶点，它与j在S中的其它顶点相比较有c[j][cloest[j]]<=c[j][k]。lowest[j]的值就是c[j][cloest[j]]。在算法执行过程中，先找出V-S中是lowest值最小的顶点j，然后根据数组closest选取边(j,cloest[j])，最后将j添加到S中，并对closest和lowest作必要的修改。

     程序运行结果为：

      例如，对于下图中的带权图，按Prim算法选取边的过程如图所示：

     利用最小生成树性质和数学归纳法容易证明，上述算法中的边集合T始终包含G的某棵最小生成树中的边。因此，在算法结束时，T中的所有边构成G的一棵最小生成树，Prim算法所需要的计算时间为O(n^2)。

     4、Kruskal算法

     Kruskal算法构造G的最小生成树的基本思想是，首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。将所有的边按权从小到大排序。然后从第一条边开始，依边权递增的顺序查看每一条边，并按下述方法连接2个不同的连通分支：当查看到第k条边(v,w)时，如果端点v和w分别是当前2个不同的连通分支T1和T2中的顶点时，就用边(v,w)将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接再查看第k+1条边。这个过程一直进行到只剩下一个连通分支时为止。

     实现算法Kruskal需要准备两个数据结构：(1)最小堆MinHeap，按权的递增顺序查看的边的序列可以看做是一个优先队列，它的优先级为边权；(2)并查集UnionFind，主要包括Union(a,b)和Find(v)两个基本运算：Union(a,b)将两个连通分支a和b连接起来，所得的结果为A或B；Find(v)返货U总包含顶点v的连通分支的名字。这个运算用来确定某条边的两个端点所属的连通分支。

    具体代码如下：

     (1)MinHeap.h

#include <iostream>using namespace std;template<class T>class MinHeap{private:T *heap; //元素数组，0号位置也储存元素int CurrentSize; //目前元素个数int MaxSize; //可容纳的最多元素个数void FilterDown(const int start,const int end); //自上往下调整，使关键字小的节点在上void FilterUp(int start); //自下往上调整public:MinHeap(int n=1000);~MinHeap();bool Insert(const T &x); //插入元素T RemoveMin(); //删除最小元素T GetMin(); //取最小元素bool IsEmpty() const;bool IsFull() const;void Clear();};template<class T>MinHeap<T>::MinHeap(int n){MaxSize=n;heap=new T[MaxSize];CurrentSize=0;}template<class T>MinHeap<T>::~MinHeap(){delete []heap;}template<class T>void MinHeap<T>::FilterUp(int start) //自下往上调整{int j=start,i=(j-1)/2; //i指向j的双亲节点T temp=heap[j];while(j>0){if(heap[i]<=temp)break;else{heap[j]=heap[i];j=i;i=(i-1)/2;}}heap[j]=temp;}template<class T>void MinHeap<T>::FilterDown(const int start,const int end) //自上往下调整，使关键字小的节点在上{int i=start,j=2*i+1;T temp=heap[i];while(j<=end){if( (j<end) && (heap[j]>heap[j+1]) )j++;if(temp<=heap[j])break;else{heap[i]=heap[j];i=j;j=2*j+1;}}heap[i]=temp;}template<class T>bool MinHeap<T>::Insert(const T &x){if(CurrentSize==MaxSize)return false;heap[CurrentSize]=x;FilterUp(CurrentSize);CurrentSize++;return true;}template<class T>T MinHeap<T>::RemoveMin( ){T x=heap[0];heap[0]=heap[CurrentSize-1];CurrentSize--;FilterDown(0,CurrentSize-1); //调整新的根节点return x;}template<class T>T MinHeap<T>::GetMin(){return heap[0];}template<class T>bool MinHeap<T>::IsEmpty() const{return CurrentSize==0;}template<class T>bool MinHeap<T>::IsFull() const{return CurrentSize==MaxSize;}template<class T>void MinHeap<T>::Clear(){CurrentSize=0;}

     (2)UnionFind.h

class UnionFind{public: UnionFind(int);~UnionFind();public:int Find(int);void Union(int, int);private:int EleNum;int *Parents;int *Rank;};UnionFind::UnionFind(int n){EleNum = n;Parents = new int[EleNum];Rank = new int[EleNum];for(int i = 0; i < EleNum; i++){Parents[i] = -1;Rank[i] = 1;}}UnionFind::~UnionFind(){delete[] Parents;delete[] Rank;}int UnionFind::Find(int i){int r = i;while(Parents[r] != -1) r = Parents[r];while(r != i){int q = Parents[i];Parents[i] = r;i = q;}return r;}void UnionFind::Union(int i, int j){int a = Find(i);int b = Find(j);if(a == b) return;if(Rank[a] > Rank[b]){Parents[b] = a;Rank[a] += Rank[b]; }else{Parents[a] = b;Rank[b] += Rank[a];}}

     (3)4d6-2.cpp

//4d6-2 贪心算法 最小生成树 Kruskal算法#include "stdafx.h"#include "MinHeap.h"#include "UnionFind.h"#include <fstream>  #include <string> #include <iostream> using namespace std; const int N = 10;//图的边数const int M = 6;//图的顶点数ifstream fin("4d6-2.txt");template <class Type>class EdgeNode{friend ostream& operator <<(ostream&,EdgeNode<Type>);//不知道为什么，一去掉注释就会报错误LNK2019: 无法解析的外部符号 错误//friend bool Kruskal(int,int,EdgeNode<Type>[],EdgeNode<Type>[]);friend int main(void);public:operator Type() const{return weight;}//暂时这么放了，日后解决//private:Type weight;int u,v;};template <class Type>bool Kruskal(int n,int e,EdgeNode<Type> E[],EdgeNode<Type> t[]);int main(){EdgeNode<int> E[N+1],t[N+1];//存储连通带权图所有边的两端顶点，权)cout<<"连通带权图所有边的两端顶点，权分别为："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){fin>>E[i].u>>E[i].weight>>E[i].v;    cout<<"u:"<<E[i].u<<",weight:"<<E[i].weight<<",v:"<<E[i].v;  cout<<endl;}if(Kruskal(M+1,N,E,t)){cout<<"Kruskal算法最小生成树选择结果为:"<<endl;for(int i=1; i<M; i++){cout<<"u:"<<t[i].u<<",weight:"<<t[i].weight<<",v:"<<t[i].v; cout<<endl;}}return 0;}template <class Type>bool Kruskal(int n,int e,EdgeNode<Type> E[],EdgeNode<Type> t[]){MinHeap<EdgeNode<Type>> H(e);//初始化最小堆for(int i=1; i<=e; i++) H.Insert(E[i]);UnionFind U(n);int k = 1;while(e && k<n-1){EdgeNode<int> x;x = H.RemoveMin();e--;//返回u中包含顶点V的连通分支的名字int a = U.Find(x.u);int b = U.Find(x.v);if(a!=b){t[k++] = x;U.Union(a,b);}}return (k==n-1);}

     例如，对前面的连通带权图，按Kruskal算法顺序得到的最小生成树上的边如下图所示：

     当图的边数为e时，Kruskal算法所需的计算时间是 。当时，Kruskal算法比Prim算法差，但当时，Kruskal算法却比Prim算法好得多。程序运行结果为：