HDU 4533 威威猫系列故事——晒被子

威威猫系列故事——晒被子

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Problem Description

　　因为马拉松初赛中吃鸡腿的题目让不少人抱憾而归，威威猫一直觉得愧对大家，这几天他悄悄搬到直角坐标系里去住了。
　　生活还要继续，太阳也照常升起，今天，威威猫在第一象限晒了N条矩形的被子，被子的每条边都和坐标轴平行，不同被子的某些部分可能会叠在一起。这时候，在原点处突然发了场洪水，时间t的时候，洪水会蔓延到( t, t )，即左下角为( 0, 0 ) ，右上角为( t, t )的矩形内都有水。
　　悲剧的威威猫想知道，在时间t1, t2, t3 ... tx 的时候，他有多少面积的被子是湿的？

 

Input

输入数据首先包含一个正整数T，表示有T组测试数据；
每组数据的第一行首先是一个整数N，表示有N条被子；
接下来N行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，代表一条被子的左下角和右上角的坐标；
然后接下来一行输入一个整数x，表示有x次询问；
再接下来x行，输入x个严格单调递增的整数，每行一个，表示威威猫想知道的时间ti。

[Technical Specification]
T <= 5
0 < N <= 20000
1 <= x1 < x2 <= 200000
1 <= y1 < y2 <= 200000
1 <= x <= 20000
1 <= ti <= 200000 （1 <= i <= x ）

 

Output

对于每次询问，请计算并输出ti时有多少面积的被子是湿的，每个输出占一行。

 

Sample Input

121 1 3 3 2 2 4 4512345

 

Sample Output

01588

 

Source

2013腾讯编程马拉松复赛第一场（3月29日）

 

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liuyiding

 

题目大意：

在第一象限中给出若干矩形（点范围1e5，矩形个数20000），现在给出一些询问（次数20000），每次询问给出一个整数t，问在(0,0)到(t,t)范围的矩形面积和。

解题思路：

考虑每次询问t,对于单一矩形的面积的计算方法～

对于询问t。计算如图矩形所被包含的面积可以用矩形面积S[TCFI]-S[TJGI]，而S[TCFI]=(t-Fx)*(t-Fy);S[TJGI]=(t-Gx)*(t-Gy)

换句话说就是用[T和矩形左下角的点形成的面积]减去[T和矩形右下角形成的矩形面积]就是这个矩形被包含的面积！

下面来看一个类似的情况：

对于这次询问t。当前矩形被包涵的面积是S[TLFI]-S[TLEK]。即[T和矩形左下角点形成的面积]减去[T和矩形左上角点形成的矩形的面积]！

那么对于矩形被包含进(t,t)范围是什么情况呢？

这时候的面积是EHGF的面积，但我们还想计算这个面积时和T有关。仿照前面的讨论，发现S[EHGF]不就是S[TLFI]-S[TLEN]-S[TMGI]+S[TMHN]么？

换句话描述，就是[T和矩形左下角点形成的矩形面积]减去[T和矩形左上角点形成的矩形面积]减去[T和矩形右下角点形成的矩形面积]加上[T和矩形右上角点形成的矩形面积]

那么我们得到了如下算法：

输入询问t

sum=0

遍历所有矩形的四个顶点

   如果该顶点在(0,0)-(t,t)的范围内

      如果当前顶点是它所在矩形的左上角或右下角的点那么sum+=[(t,t)和该点形成的矩形的面积]

      否则sum-=[(t,t)和该点形成的矩形的面积]

返回sum

对于这题目的数据来说时间复杂度肯定是不够的，我们要想办法优化它。。。

观察我们计算[T和当前点形成的矩形面积]时的方法：

假设当前点坐标是(x,y)

那么S=(t-x)*(t-y)

我们可以将上式展开：S=t*t-t(x+y)+xy

我们可不可以将上式分成的三部分分别求和呢？答案是可以的！

那么我们可以将所有矩形左下角和右上角的点分到一组a（因为它们和T形成的矩形面积都是做“加”运算），把左上角和右下角的点分到一组b（因为它们和T形成的矩形面积都是做“减”运算）

那么结果可以写成sigma[a中在(t,t)范围内的点和T形成的矩形面积]-sigma[b在(t,t)范围内的点和T形成的矩形面积]

很容易想到，我们将a，b中的点分别按max(x,y)排序。然后正确的算法已经呼之欲出了！

对于每次询问t，我们二分找到它在a,b中的位置n,m（即max(x,y)恰好不超过t的最大的下标，a,b都是从1开始编号）

答案不就是

Sum(Sa)-Sum(Sb)

=sigma[t*t-t*(x+y)+xy]（a中点）-sigma[t*t-t*(x+y)+xy]（b中点）

=[sigma(t*t)-sigma(x+y)+sigma(xy)]（a中点）-[sigma(t*t)-sigma(x+y)+sigma(xy)]（b中点）

计算sigma(t*t)只要t*t乘个数（对于a是n,对于b是m）即可！

计算sigma(x+y)和sigma(xy)只要预处理一下即可！

现在算法如下：

检查所有矩形的四个顶点

        如果是左下角或是右上角的点那么放到a的末尾

        否则放到b的末尾

将a,b中的所有点按max(x,y)排序

定义suma,sumb表示a、b的点中下标1到下标i的所有点的x+y和

定义suma_mul,sumb_mul表示a、b的点中下标1到下标i的所有点的x*y和

循环 i=1 到 2*N 

        suma[i]=suma[i-1]+a[i].x+a[i].y

        sumb[i]=sumb[i-1]+b[i].x+b[i].y

        suma_mul[i]=suma_mul[i-1]+a[i].x*a[i].y

        sumb_mul[i]=sumb_mul[i-1]+b[i].y*b[i].y

对于每次询问t

        二分找到在a,b中max(x,y)恰好不超过t的下标n,m

        输出答案(t*t*n-t*suma[n]+suma_mum[n])-(t*t*m-t*sumb[m]+sumb_mul[m])

另外：由于本题的询问范围是固定且是递增的，所以可以考虑在这里再次优化时间复杂度

代码：

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<iostream>using namespace std;struct point{long long x,y;friend bool operator < (const point &a,const point &b){return max(a.x,a.y)<max(b.x,b.y);}};point a[50001];long long suma[50001],sumb[50001],suma_mul[50001],sumb_mul[50001];point b[50001];int find_a(int l,int r,long long t){while(r>=l){int m=(l+r)/2;if(t==max(a[m].x,a[m].y))return m;if(t<max(a[m].x,a[m].y))r=m-1;else l=m+1;}return l;}int find_b(int l,int r,long long t){while(r>=l){int m=(l+r)/2;if(t==max(b[m].x,b[m].y))return m;if(t<max(b[m].x,b[m].y))r=m-1;else l=m+1;}return l;}int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){memset(suma,0,sizeof(suma));memset(sumb,0,sizeof(sumb));memset(suma_mul,0,sizeof(suma_mul));memset(sumb_mul,0,sizeof(sumb_mul));memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){long long x1,y1,x2,y2;scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&x1,&y1,&x2,&y2);//cin>>x1>>y1>>x2>>y2;a[2*i-1]=(point){x1,y1};a[2*i]=(point){x2,y2};b[2*i-1]=(point){x1,y2};b[2*i]=(point){x2,y1};}sort(a,a+2*n+1);sort(b,b+2*n+1);for(int i=1;i<=2*n;i++){suma[i]=suma[i-1]+a[i].x+a[i].y;sumb[i]=sumb[i-1]+b[i].x+b[i].y;suma_mul[i]=suma_mul[i-1]+a[i].x*a[i].y;sumb_mul[i]=sumb_mul[i-1]+b[i].x*b[i].y;}suma[2*n+1]=suma[2*n];sumb[2*n+1]=sumb[2*n];suma_mul[2*n+1]=suma_mul[2*n];sumb_mul[2*n+1]=sumb_mul[2*n];int q;scanf("%d",&q);while(q--){long long x;scanf("%I64d",&x);long long sum=0;int m=find_a(1,2*n,x);if(m>2*n)m=2*n;if(x<max(a[m].x,a[m].y))m--;sum=m*x*x-x*suma[m]+suma_mul[m];m=find_b(1,2*n,x);if(m>2*n)m=2*n;if(x<max(b[m].x,b[m].y))m--;sum=sum-(m*x*x-x*sumb[m]+sumb_mul[m]);printf("%I64d\n",sum);//cout<<sum<<endl;}}}