小波学习之二（单层一维离散小波变换DWT的Mallat算法C++实现优化）

        在上回《小波学习之一》中，已经详细介绍了Mallat算法C++实现，效果还可以，但也存在一些问题，比如，代码难于理解，同时出现了边界问题。在此，本文将重构代码，采用新的方法解决这些问题，同时也加深对小波变换的理解。

        MATLAB作为经典的数学工具，分析其小波变换dwt和idwt实现后发现真的很经典，学习参考价值很高。下面结合南京理工大学 谭彩铭的《解读matlab之小波库函数》及MATLAB小波工具包中m文件的情况，作一个小结，最后用C++函数进行实现，并且编译调试OK。
        一、MATLAB上dwt函数的工作过程
        假设x=[x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)]，计算y=dwt(x,’db2’)，其计算过程主要由三个部分组成：
1、边缘延拓，它主要由函数wextend完成。

仔细分析子程序部分，函数wextend的用法为y=wextend('1D','sym',x,3)；这样得到的y=[ x(3) x(2) x(1) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(7) x(6) x(5)]
2、卷积运算，它主要由函数conv2完成。
仔细分析子程序部分，核心语句有z=conv2(y,Lo_D,'valid')；这里设Lo_D=[h(1) h(2) h(3) h(4)]。

这2步的实现过程示意图如下：

3、最后就是下采样即隔点采样，其下采样是按照式a = z(2:2:length(z))进行的，高频低频部分均如此，项数为floor（(7+4-1)/2）。

最后的dwt低频系数结果是[z(2) z(4) z(6) z(8) z(10)]，高频系数求解过程和低频系数一样，在此不再赘述。

        二、MATLAB上idwt函数的工作过程

1、上采样即隔点插0，dyadup(x,0)。

2、卷积运算，它也是最终由函数conv2完成。

3、抽取结果，wkeep1(x,s,'c')。

下面啥都不说show核心代码实现，欢迎讨论。

/** * @brief 边缘延拓 * @param typeId 延拓数据的类型，1D or 2D * @param modeId 延拓方式：对称、周期 * @param in 输入数据 * @param inLen 输入数据的长度 * @param filterLen 小波基滤波器长度 * @param out 返回结果数组 * @return 返回结果数组长度 */int SignalExtension(int typeId,int modeId,   double *in,   int inLen,    int filterLen, double out[])  {    if((NULL == in)||(NULL == out))        return -1;    if(0 != typeId) // 目前只支持一种模型    return -1;    //if(0 != modeId) // 目前只支持一种模型，信号对称拓延  'sym' or 'symh'  Symmetric-padding (half-point): boundary value symmetric replication    //return -1;    if( inLen < filterLen ) // inLen should lager than or equal extendLen, otherwise no extension    return -1;    int i;    int extendLen = filterLen - 1;    if(0 == modeId) // 信号对称拓延    {        for(i=0; i<inLen; i++)        {        out[extendLen+i] = in[i];        }        for(i=0; i<extendLen; i++)        {        out[i]                     = out[2*extendLen - i - 1];       // 左边沿对称延拓        out[inLen + extendLen + i] = out[extendLen + inLen - i - 1]; // 右边沿对称延拓        }        return inLen + 2*extendLen;    }    else if(1 == modeId) // 信号周期拓延    {for( i = 0; i < extendLen; i++ )out[i] = in[inLen-extendLen+i];for ( i = 0; i < inLen; i++ )out[extendLen+i] = in[i];        return inLen + extendLen;    }}

/** * @brief 上采样  隔点插0 * @param data 输入数据指针 * @param n 输入数据长度 * @param result 返回结果数组 * @return 返回结果数组长度 */int Upsampling(double* data, int n, double result[]){int i;for( i = 0; i < n; i++ ){result[2*i] = data[i];result[2*i+1] = 0;}return( 2*n );}

/** * @brief 下采样  隔点采样 * @param data 输入数据指针 * @param n 输入数据长度 * @param result 返回结果数组 * @return 返回结果数组长度 */int Downsampling(double* data, int n, double result[]){int i, m;m = n/2;for( i = 0; i < m; i++ )result[i] = data[i*2 + 1];return( m );}

/** * @brief 卷积运算 * @param shapeId 卷积结果处理方式 * @param double *inSignal, int signalLen, // 输入信号及其长度 * @param double *inFilter, int filterLen, // 输入滤波器及其长度 * @param double outConv[], int *convLen)   // 输出卷积结果及其长度 * @return */void Conv1(int shapeId,                  // 卷积结果处理方式double *inSignal, int signalLen, // 输入信号及其长度double *inFilter, int filterLen, // 输入滤波器及其长度double outConv[], int *convLen)   // 输出卷积结果及其长度{    if((NULL == inSignal)||(NULL == inFilter)||(NULL == outConv))        return;    int n,k,kmin,kmax,p;    if(0 == shapeId)      // 对于MATLAB conv(...,'shape')  -----full    {    *convLen = signalLen + filterLen - 1;    for (n = 0; n < *convLen; n++)    {    outConv[n] = 0;        kmin = (n >= filterLen - 1) ? n - (filterLen - 1) : 0;        kmax = (n < signalLen - 1) ? n : signalLen - 1;        for (k = kmin; k <= kmax; k++)        {        outConv[n] += inSignal[k] * inFilter[n - k];        }    }    }    else if(1 == shapeId) // 对于MATLAB conv(...,'shape')  -----valid    {    *convLen = signalLen - filterLen + 1;    for (n = filterLen - 1; n < signalLen; n++)    {    p = n - filterLen + 1;    outConv[p] = 0;        kmin = (n >= filterLen - 1) ? n - (filterLen - 1) : 0;        kmax = (n < signalLen - 1) ? n : signalLen - 1;        for (k = kmin; k <= kmax; k++)        {        outConv[p] += inSignal[k] * inFilter[n - k];        }    }    }    else    return ;}

/** * @brief 小波变换之分解 * @param sourceData 源数据 * @param dataLen 源数据长度 * @param db 过滤器类型 * @param cA 分解后的近似部分序列-低频部分 * @param cD 分解后的细节部分序列-高频部分 * @return 正常则返回分解后序列的数据长度，错误则返回-1 */int Wavelet::Decomposition(double* sourceData, int dataLen, Filter db, double* cA, double* cD){    if(dataLen < 2)        return -1;    if((NULL == sourceData)||(NULL == cA)||(NULL == cD))        return -1;    m_db = db;    int filterLen = m_db.length;    int i, n;    int decLen = (dataLen+filterLen-1)/2;    int convLen = 0;    double extendData[dataLen+2*filterLen-2];    double convDataLow[dataLen+filterLen-1];    double convDataHigh[dataLen+filterLen-1];/*MATLAB上dwt函数的工作过程假设x=[x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)],计算y=dwt(x,’db2’)。其计算过程主要由两个部分组成：1：边缘延拓，它主要由函数wextend完成。2：卷积运算，它主要由函数conv2完成。先看第一部分，仔细分析子程序部分，函数wextend的用法为y=wextend('1D','sym',x,3);这样得到的y=[ x(3) x(2) x(1) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(7) x(6) x(5)]在看第二部分，仔细分析子程序部分，核心语句有z=conv2(y,Lo_D,'valid');这里设Lo_D=[h(1) h(2) h(3) h(4)]。3：最后就是下采样，其下采样是按照式a = z(2:2:length(z))进行的，高频低频部分均如此，项数为floor（(7+4-1)/2）。 */    // 1.边缘延拓    SignalExtension(0, 0 , sourceData, dataLen, filterLen, extendData);    // 2.卷积运算    Conv1(1, extendData, dataLen+2*filterLen-2, db.lowFilterDec, filterLen, convDataLow, &convLen);    Conv1(1, extendData, dataLen+2*filterLen-2, db.highFilterDec, filterLen, convDataHigh, &convLen);    // 3.下采样    Downsampling(convDataLow, dataLen + filterLen - 1, cA);    Downsampling(convDataHigh, dataLen + filterLen - 1, cD);    return decLen;}

/** * @brief 小波变换之重构 * @param cA 分解后的近似部分序列-低频部分 * @param cD 分解后的细节部分序列-高频部分 * @param cALength 输入数据长度 * @param RecLength 输入重构后的原始数据长度 * @param db 过滤器类型 * @param recData 重构后输出的数据 * @return 正常则返回重构数据长度，错误则返回-1 */int Wavelet::Reconstruction(double *cA, double *cD, int cALength, int RecLength, Filter db, double* recData){    if((NULL == cA)||(NULL == cD)||(NULL == recData))        return -1;    m_db = db;    int filterLen = m_db.length;    int i,j;    int n,k,p;    int recLen = RecLength;    int convLen = 0;    double convDataLow[recLen+filterLen-1];    double convDataHigh[recLen+filterLen-1];    double cATemp[2*cALength];    double cDTemp[2*cALength];    memset(convDataLow, 0, (recLen+filterLen-1)*sizeof(double)); // 清0    memset(convDataHigh, 0, (recLen+filterLen-1)*sizeof(double)); // 清0    memset(cATemp, 0, 2*cALength*sizeof(double)); // 清0    memset(cDTemp, 0, 2*cALength*sizeof(double)); // 清0    // 1.隔点插0    Upsampling(cA, cALength, cATemp);    Upsampling(cD, cALength, cDTemp);    // 2.卷积运算    Conv1(0, cATemp, 2*cALength-1, db.lowFilterRec, filterLen ,convDataLow, &convLen);    convLen = 0;    Conv1(0, cDTemp, 2*cALength-1, db.highFilterRec, filterLen ,convDataHigh, &convLen);    // 3.抽取结果及求和——实现类似MATLAB中的wkeep1(s,len,'c')的功能    k = (convLen - recLen)/2;    for(i=0; i<recLen; i++)    {    recData[i] = convDataLow[i + k] + convDataHigh[i + k];    }    return recLen;}

尺度