第3章 动态规划 矩阵连乘问题

两个矩阵相乘的计算量

程序实现

//矩阵a和b相乘，p、q分别为a的行和列，q、r分别为b的行和列void MatrixMultiply(int a[][MAXN], int b[][MAXN], int p, int q, int r){int sum[MAXN][MAXN];memset(sum, 0, sizeof(sum));int i, j, k;//遍历矩阵a的行for (k = 0; k < p; k++){//遍历矩阵b的列for (j = 0; j < r; j++){//对应位置相乘for (i = 0; i < q; i++){sum[k][j] += a[k][i] * b[i][j];}}}}

所以a、b两个矩阵相乘的计算量为p*q*r。

枚举所有完全加括号方式

ABCD四个矩阵连乘

1、（A（BCD））——>（A（B（CD））），（A（（BC）D））;

2、（（AB）（CD））——>NULL；

3、（（ABC）D）——>（（A（BC）D）），（（（AB）C）D）;

对于上面四个矩阵来说，枚举方法是：

1、括号加在A和B之间，矩阵链被分为（A）和（BCD）；

2、括号加在B和C之间，矩阵链被分为（AB）和（CD）；

3、括号加在C和D之间，矩阵链被分为（ABC）和（D）；

在第一步中分出的（A）已经不能在加括号了，所以结束；

而（BCD）继续按照上面的步奏把括号依次加在B和C、C和D之间，其他情况相同。

加括号的过程是递归的。

程序实现

//m数组内存放矩阵链的行列信息//m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）int Best_Enum(int m[], int left, int right){//只有一个矩阵时，返回计算次数0if (left == right){return 0;}int min = INF; //无穷大int i;//括号依次加在第1、2、3...n-1个矩阵后面for (i = left; i < right; i++){//计算出这种完全加括号方式的计算次数int count = Best_Enum(m, left, i) + Best_Enum(m, i+1, right);count += m[left-1] * m[i] * m[right];//选出最小的if (count < min){min = count;}}return min;}

备忘录法优化

上图为递归枚举过程，小方块内的1:4代表第1个矩阵至第4个矩阵的完全加括号方式

可以看到黄色方块中有很多重复计算，所以利用备忘录来保存计算结果，在每次进行计算前，

先查表，看是否计算过，避免重复计算。

程序实现

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;#define SIZE 100#define INF 999999999int memo[SIZE][SIZE];//m数组内存放矩阵链的行列信息//m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）int Best_Memo(int m[], int left, int right){//只有一个矩阵时，返回计算次数0if (left == right){return 0;}int min = INF;int i;//括号依次加在第1、2、3...n-1个矩阵后面for (i = left; i < right; i++){//计算出这种完全加括号方式的计算次数int count;if (memo[left][i] == 0){memo[left][i] = Best_Memo(m, left, i);}count = memo[left][i];if (memo[i+1][right] == 0){memo[i+1][right] = Best_Memo(m, i+1, right);}count += memo[i+1][right];count += m[left-1] * m[i] * m[right];//选出最小的if (count < min){min = count;}}return min;}int main(void){int m[SIZE];int n;while (scanf("%d", &n) != EOF){int i;for (i = 0; i < n; i++){scanf("%d", &m[i]);}memset(memo, 0, sizeof(memo));printf("%d\n", Best_Memo(m, 1, n-1));}return 0;}

动态规划法

以矩阵链ABCD为例

按照矩阵链长度递增计算最优值

矩阵链长度为1时，分别计算出矩阵链A、B、C、D的最优值

矩阵链长度为2时，分别计算出矩阵链AB、BC、CD的最优值

矩阵链长度为3时，分别计算出矩阵链ABC、BCD的最优值

矩阵链长度为4时，计算出矩阵链ABCD的最优值

动归方程：

k为矩阵链断开的位置

d数组存放矩阵链计算的最优值，d[i][j]是以第i个矩阵为首，第j个矩阵为尾的矩阵链的最优值，i > 0

m数组内存放矩阵链的行列信息，m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;#define SIZE 100#define INF 999999999int m[SIZE];//存放矩阵链的行列信息，m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）int d[SIZE][SIZE];//存放矩阵链计算的最优值，d[i][j]为第i个矩阵到第j个矩阵的矩阵链的最优值，i > 0int Best_DP(int n){//把d[i][i]置为0，1 <= i < nmemset(d, 0, sizeof(d));int len;//递归计算矩阵链的连乘最优值//len = 1，代表矩阵链由两个矩阵构成for (len = 1; len < n; len++){int i, j, k;for (i = 1, j = i+len; j < n; i++, j++){int min = INF; //无穷大for (k = i; k < j; k++){int count = d[i][k] + d[k+1][j] + m[i-1] * m[k] * m[j];if (count < min){min = count;}}d[i][j] = min;}}return d[1][n-1];}int main(void){int n;while (scanf("%d", &n) != EOF){int i;for (i = 0; i < n; i++){scanf("%d", &m[i]);}printf("%d\n", Best_DP(n));}return 0;}