/*************************************************算法引入：最小k度限制生成树,就是指有特殊的某一点的度不能超过k时的最小生成树;如果T是G的一个生成树且dT(v0)=k,则称T为G的k度限制生成树;G中权值和最小的k度限制生成树称为G的最小k度生成树;算法思想：设特殊的那点为v0,先把v0删除,求出剩下连通图的所有最小生成树;假如有m棵最小生成树,那么这些生成树必定要跟v0点相连;也就是说这棵生成树的v0点至少是m度的;若m>k,条件不成立,无法找到最小k度限制生成树;若m<=k,则枚举m到k的所有最小生成树,即一步步将v0点的度加1,直到v0点的度为k为止;则v0点度从m到k的(k-m+1)棵最小生成树中最小的那棵即为答案;算法步骤：(1)先求出最小m度限制生成树:原图中去掉和V0相连的所有边(可以先存两个图,建议一个邻接矩阵,一个邻接表,用方便枚举边的邻接表来构造新图);得到m个连通分量,则这m个连通分量必须通过v0来连接;则在图G的所有生成树中dT(v0)>=m;则当k<m时,问题无解;对每个连通分量求一次最小生成树;对于每个连通分量V’,用一条与V0直接连接的最小的边把它与V0点连接起来,使其整体成为一个生成树;就得到了一个m度限制生成树,即为最小m度限制生成树;(2)由最小m度限制生成树得到最小m+1度限制生成树;连接和V0相邻的点v,则可以知道一定会有一个环出现(因为原来是一个生成树);只要找到这个环上的最大权边(不能与v0点直接相连)并删除,就可以得到一个m+1度限制生成树;枚举所有和V0相邻点v,找到替换后,增加权值最小的一次替换(如果找不到这样的边,就说明已经求出);就可以求得m+1度限制生成树;如果每添加一条边,都需要对环上的边一一枚举,时间复杂度将比较高;用动态规划解决;设dp(v)为路径v0—v上与v0无关联且权值最大的边;定义father(v)为v的父结点,由此可以得到状态转移方程:dp(v)=max(dp(father(v)),ω(father(v),v));边界条件为dp[v0]=-∞(因为每次寻找的是最大边,所以-∞不会被考虑),dp[v’]=-∞|(v0,v’)∈E(T);(3)当dT(v0)=k时停止(即当V0的度为k的时候停止),但不一定k的时候最优;算法实现：并查集+kruskal;首先,每个连通分量的的最小生成树可以直接用一个循环,循环着Kruskal求出;这里利用了联通分量间的独立性,对每个连通分量分别求最小生成树,和放在一起求,毫不影响;而且kruskral算法保证了各连通分量边的有序性;找最小边的时候,可以用动态规划,也可以这么做：先走一个循环,但我们需要逆过来加边,将与v0关联的所有边从小到达排序;然后将各连通分量连接起来,利用并查集可以保证每个连通分量只有一条边与v0相连;由于边已经从小到达排序,故与每个连通分量相连的边就是每个连通分量与v0相连中的最小边;然后求m+1度的最小生成树时,可以直接用DFS,最小生成树要一直求到k度,然后从中找出一个最优值;算法测试：PKU1639(Picnic Planning);题目大意:给出m条边,每条边有两个端点和一个权值;求这个图在满足以下条件的情况下的最小生成树;在所有点中,有一个特殊点Park,它在求得的最小生成树中的度必须小于等于某个值;**************************************************/#include<iostream>#include<string>#include<cstdio>#include<map>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int INF=99999999;const int N=100;int n,m;//n为边的数量,m表示限度值int cnt;//计算出来的结点数int set[N];bool flag[N][N];int G[N][N];int ans;map<string,int> Map;struct node{ int x,y,v;} a[N*N];struct edge{ int x,y,v;} dp[N];int get_num(string s)//返回每个人对应结点{ if(Map.find(s)==Map.end())//没有搜索到该键值 { Map[s]=++cnt;//对应建图 } // cout<<" Map["<<s<<"]=="<<Map[s]<<endl; return Map[s];}bool cmp(node a,node b){ return a.v<b.v;}int find_set(int x){ if(x!=set[x]) set[x]=find_set(set[x]); return set[x];}inline void union_set(int x,int y){ set[y]=x;}void kruskal()//求m个连通分量的最小生成树{ for(int i=1; i<=n; i++) { if(a[i].x==1||a[i].y==1) continue; int x=find_set(a[i].x); int y=find_set(a[i].y); if(x==y) continue; flag[a[i].x][a[i].y]=flag[a[i].y][a[i].x]=true; set[y]=x; ans+=a[i].v; }}void dfs(int x,int fa){ for(int i=2; i<=cnt; i++) if(i!=fa&&flag[x][i]) { if(dp[i].v==-1) { if(dp[x].v>G[x][i])//dp(v)=max(dp(father(v)),ω(father(v),v)); { dp[i]=dp[x]; } else { dp[i].v=G[x][i]; dp[i].x=x; dp[i].y=i; } } dfs(i,x); }}void init(){ ans=0; cnt=1; Map["Park"]=1; memset(flag,0,sizeof(flag)); memset(G,-1,sizeof(G)); scanf("%d",&n); for(int i=1; i<N; i++)//并查集初始化 set[i]=i; string s; for(int i=1; i<=n; i++) { cin>>s; a[i].x=get_num(s); cin>>s; a[i].y=get_num(s); cin>>a[i].v; if(G[a[i].x][a[i].y]==-1) G[a[i].x][a[i].y]=G[a[i].y][a[i].x]=a[i].v; else//有重边 G[a[i].x][a[i].y]=G[a[i].y][a[i].x]=min(G[a[i].y][a[i].x],a[i].v); } scanf("%d",&m);//m表示限度值}void solve(){ int tmp[N],Min[N]; for(int i=1; i<=cnt; i++) Min[i]=INF; sort(a+1,a+1+n,cmp); kruskal(); for(int i=2; i<=cnt; i++) { if(G[1][i]!=-1) { int t=find_set(i); if(Min[t]>G[1][i])//求每个连通分量中和顶点1连接的最小权边 { tmp[t]=i; Min[t]=G[1][i]; } } } int t=0;//t表示最小限度 for(int i=1; i<=cnt; i++) if(Min[i]!=INF) { t++; flag[1][tmp[i]]=flag[tmp[i]][1]=true; ans+=G[1][tmp[i]]; } for(int i=t+1; i<=m; i++)//枚举t到m的所有最小生成树,即一步步将v1点的度加1,直到v1点的度为m为止; { memset(dp,-1,sizeof(dp));//dp[v]为路径v0—v上与v0无关联且权值最大的边; dp[1].v=-INF; for(int j=2; j<=cnt; j++) if(flag[1][j]) dp[j].v=-INF; dfs(1,-1); int tmp,Min=INF; for(int j=2; j<=cnt; j++) if(G[1][j]!=-1) { if(Min>G[1][j]-dp[j].v) { Min=G[1][j]-dp[j].v; tmp=j; } } if(Min>=0)//找不到这样的边,就说明已经求出 break; flag[1][tmp]=flag[tmp][1]=true; int x=dp[tmp].x; int y=dp[tmp].y; flag[x][y]=false; flag[y][x]=false; ans+=Min; } printf("Total miles driven: %d\n",ans);}int main(){ freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\kd.txt","r",stdin); init(); solve(); return 0;}
