Structured Learning和Structured SVM的学习（下）

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在上面的部分中，经验损失为0意味着我们得到了一个完全符合训练样本要求的discriminative function f，即∀(xi,yi),f(xi)=yi。然而，多数时候，我们无法得到满足前面式子中所有约束的可行解。因此，我们还是借鉴SVM 的思想，在优化问题中加入松弛变量，这样就使模型不必完全拟合训练集中的样本，从而得到下面的优化问题：

minw,ξ12||w||2+Cn∑i=1nξ2s.t.∀i,∀y∈Y∖yi:⟨w,δψi(y)⟩≥1−ξi

可以将ξi理解为是对那些不能满足约束条件的y的惩罚。但是，在这里，对于两个不满足约束条件的y1,y2，我们对其进行了等量的惩罚，这显然是不合理的。正确的做法是，如果Δ(y1,yi)>Δ(y2,yi)，那么我们应该给予y1更大的惩罚。因此我们在进行惩罚时还应该考虑损失函数的影响，于是可以进一步得到下面的优化问题（具体推导过程参见文章所列参考资料）：

minw,ξ12||w||2+Cn∑i=1nξ2s.t.∀i,∀y∈Y∖yi:⟨w,δψi(y)⟩≥Δ(yi,y)−ξi

• 求解方法

经过上面的分析，我们最终将求解discriminative function f的问题转化为一个类似svm中优化问题，只要解决这个优化问题，就能得到所需的f。但是，直接利用svm中求解的方法确是不可行的，因为上述优化问题中的约束条件实在是太多了。假设有n个训练样本，y可能的状态数为|Y|，那么总的约束个数为n*(|Y|-1)；如果y的取值是连续的，那么便有无数个约束条件了。。。因此，尽管形式上与传统svm的优化问题相同，但在求解方法上我们却需要另辟蹊径。

实际上，在上述优化问题中，只有w和ξ是变量，假设w的维度为d，那么只需要根据n+d个约束就可以求得最优解，其它约束会自动被满足。因此，在求解过程中，我们希望找到一个所有约束条件的子集，使得满足这个子集中约束的解，也是在一定误差下的最优解，具体方法就是利用cutting plane training算法：对于一个训练样本(xi,yi)，我们为其维护一个约束条件的working set Si，初始Si为空，然后迭代求解。在每一轮迭代中，我们根据的working set中的约束求出w的值，然后对于(xi,yi)，找出此时‘most violated constraint’，也就是求解下式：

y∗=argmaxy∈YH(y)H(y)=Δ(yi,y)−⟨δψi(y),w⟩

若H(y)超过一定的阈值，则将y∗对应的约束加入到Si中，并且开始下一轮迭代。当working set不再变化时，算法结束，此时的w就是一定误差下的最优解。

• 使用Structured SVM

SVM Struct是一个Structured SVM的编程框架，遵循这个框架我们利用Structured SVM解决自己的问题。在这个框架中，我们只需要实现三个模块：

1. feature mapping，即ψ(xi,yi)
2. loss function，即Δ(yi,y)
3. 寻找‘most violated constraint’，也就是求解y∗=argmaxy∈Y(Δ(yi,y)−⟨δψi(y),w⟩)

在这三个模块中，个人感觉最为困难的是选择feature mapping function ψ(xi,yi)。在实际问题中，我们常常无法确定从何种角度来描述(x,y)的特征效果最好。我们可以通过kernelized来解决这个问题，即选择核函数k，

Missing open brace for superscript

这样，我们不需要明确的定义ψ(xi,yi)了，只需要选择一个能比较样本间相似程度的kernel就可以了，这个相对简单。但同时，由于没有明确指明ψ(xi,yi)，利用kernel在计算‘most violated constraint’时就会复杂一些。总之，有利有弊，还得根据自己的问题决定。

• 相关资料

1. Large Margin Methods for Structured and Interdependent Output Variables
2. Structured Learning and Prediction in Computer Vision