经典算法题——寻找第1500个丑数

前言：

        相信很多朋友们都对“丑数”有所了解，当然肯定也有人觉得这个名字好奇怪，咦，什么样的数才算是丑数咧？实际上丑数就是只包括2，3，5这三种因子的数，另外我们一般把“1”当作第一个丑数。

        知道了丑数，我们很容易发现，丑数有点像质数一样，总是没有最大的。不过丑数的寻找可比质数的寻找简单得多啦，那让我们来试一试找出从小到大排序的第1500个丑数吧。

解法一：

       既然知道了这个丑数的判断方法，也就是任意给我们一个自然数，我们可以判断它究竟是不是丑数。方法当然就是把这个数 a 先不断除以2，直到有余数，恢复一步，得到 x；再把 x 不断除以3，直到有余数，恢复一步，得到 y ；最后把 y 不断除以5，如果最后余数为 1 ，就说明这个数 a 是丑数，余数不为 1 则说明 a 包含其他除了2，3，5的因子。

        看一看代码：

int number = 1500; //要求输出丑数的数
int index = 1; //数字本身
while(number > 0){
    int temp = index;
    while(temp%2 == 0)temp = temp/2;
    while(temp%3 == 0)temp = temp/3;
    while(temp%5 == 0)temp = temp/5;
    if(temp == 1)
    { 
    System.out.println(index+"number="+number);
    number--;
    }
    index++;
}

        但是，但是，我们发现运行以上代码，电脑就开始不停地算了~~~~算啊算啊算啊算，差不多要几十秒才能得到我们想要的数。这是为什么呢？噢，看一下我们得到的那个第1500个丑数就明白了，859963392。。。好大。。。

        也就是说，我们的计算机从1开始一直判断所有的数是不是丑数，一直判断到我们这个 8 亿多这么大的这个数。。。原来人家计算机几十秒算了这么多东西在此，我想崇敬地说一句“计算机，您辛苦了(*^__^*) ”

        可是，这样计算机太可怜了，一定有什么方法帮帮她~~~~哎，对噢，判断需要判断8亿次，但是丑数只有1500个，如果我们能只做1500次操作而不是8亿次操作，效率自将大升。我们可以看看能不能直接计算出丑数，也就是说，给出现有的丑数，我们来找出下一个丑数，可以吗？当然啦~

解法二：

        赶紧来试一试。不过假设给了我们从1开始的10个丑数，怎么找出第11个呐？等等，诶，丑数不是只由2，3，5构成的嘛，而且我们拿到的数也是由2，3，5构成的，而且是最小的10个，那么第11个一定就比前十个数中的某一个多一个因子2，或者因子3，或者因子5……也就是说，第11个丑数一定是前十个丑数中某一个丑数的2倍，或者3倍，或者5倍！！

        这个很关键，再仔细想一想噢。现在知道了第11个丑数一定是前十个丑数中某一个丑数的2倍，或者3倍，或者5倍，还是不行呢，那到底是2倍还是3倍还是5倍呢o(︶︿︶)o。。。

        想起来啦，我们的第十一个丑数一定是，大于第十个丑数的所有丑数中，最小的！！！那就是说，我们可以在第一到第十个丑数中找出某个丑数 a ，它的两倍刚好大于第十个丑数（刚好的意思就是，上一个数的两倍还小于第十个丑数，而它自己的两倍却大于第十个丑数了）；然后再找出前十个丑数中的三倍刚好大于第十个丑数的家伙 b ；最后找出前十丑数中某丑数5倍刚好大于第十个丑数的丑数 c ~~~2*a，3*b，5*c，找出这三个中最小的就行啦(*^__^*) 

        来来来，看看代码咯：

int num[]=new int[1501];
num[0] = 0;
num[1] = 1;
int two = 0,three = 0,five = 0;//刚好大于现有最大丑数的三个
for(int i = 1; i <= 1499; i++)

{//每次找出一个丑数
    for(int j = 1; j <= i ; j++)//从头向后扫描，若某数的两倍刚好大于上回找出的丑数，将它值记录下来
    if((2*num[j-1] <= num[i])&&(2*num[j] > num[i])) two=num[j]*2;
    for(int j = 1; j <= i ; j++)//从头向后扫描，若某数的三倍刚好大于上回找出的丑数，将它值记录下来
    if((3*num[j-1] <= num[i])&&(3*num[j] > num[i])) three=num[j]*3;
    for(int j = 1; j <= i ; j++)//从头向后扫描，若某数的五倍刚好大于上回找出的丑数，将它值记录下来
    if((5*num[j-1] <= num[i])&&(5*num[j] > num[i])) five=num[j]*5;
    //比较出三个数中最小的
    if(two>=three&&five>=three) num[i+1] = three;
    else if(two>=five&&three>=five) num[i+1] = five;
    else if(five>=two&&three>=two) num[i+1] = two;
}
System.out.println("第1500个丑数 = "+num[1500]);

        赶紧去跑一跑，有没有发现这速度比前一条快的不是一点半点哈哈，瞬间得到结果有木有

后话：

       我后来继续思索这个问题，隐隐约约感觉到还有更优的方法。因为丑数不是仅由2，3，5构成嘛，所以从理论上出发，完全可以自己用2，3，5自主构建出从小到大的丑数。我感觉比如拿到一个丑数，它的2，3，5的构成个数就一定了，那应该可以推断出下一个丑数的2，3，5的构成。如果能完成这个功能，其效率肯定比解法二更优。

        不过理论成立，实际不太可行，因为虽然知道某丑数2，3，5构成，下一个数的2，3，5构成确实应该是一定的，但是我们没办法通过简单的算法计算得到。

        所以实现此方法的唯一方式只能通过人为映射（就是相当于打表）。而这样的映射的复杂性增加速度是很恐怖的，所以这样的方法看来确实没有实现的可能了。

        当然这样的思路也提供了另一种方法，比如某丑数的2，3，5因子数分别为x,y,z ，那么下一个数的2，3，5因子数必将在0—(x+y*y+z*z*z)，0—(x+y+z*z)，0—(sqrt(x)+y+z)范围内，由此推断下一个。好吧，这个方法也麻烦的可以，不过我就想告诉大家，算法题的解法总是很多样化的，大家一定要亲自去探索，很可能获取一些意外收获噢(*^__^*)