中国剩余定理

 

 

    在中国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆正半月，除百零五便得知。”

这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在中国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组

N=3x+2,N=5y+3,N=7z+2

的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价干解下列的一次同余组。

《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法多三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：

N=70×2+21×3+15×2－2×105。

这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式

N=70×R1+21×R2+15×R3－P×105（p是整数）。

 

中国剩余定理”算理及其应用：

为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来中国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。

 

例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1+45×2+36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

 

例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2+120×4+105×5=1229，因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

 

例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4+385×3+320×2=2499，因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。

 

例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×5+225×1+126×2=1877，因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。

 

例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？ 题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×6+225×2+126×3=2508，因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）

 

 

关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。不懂论坛上有没人发过。小学奥赛考试时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7+4=46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。46+42=8846+42+42=13046+42+42+42=172这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”4+7=1111+7=1818+35=53这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。大家可以试下. 所以：一共有5个 187 367 547 727 907

 

此题的初等解法

四川省三台县工商局王志成的初等解法，简单、方便、可以永远的延续下去。

条件1、三三数之余二 ，条件2、五五数之余三 ，条件3、七七数之余二，条件4、十一十一数之余七，条件5、十三十三数之余五，条件6、十七十七数之余七，

⒈满足条件1为等差数列：3N+2。

⒉将等差列3N+2取5项有：2，5，8，11，14，必然有一项满足条件2，五五数之余三，结果为8，同时满足条件1和2的为等差数列：15N+8。

⒊将等差列15N+8取7项有：8，23，38，53，68，83，98，必然有一项满足条件3，七七数之余二，结果为23，同时满足条件1，2，3的为等差数列：23+ 105N。

⒋将等差列23+ 105N取11项有：23，128，233，338，443，548，653，758，863，968，1073，必然有一项满足条件4，十一十一数之余七，结果为128，同时满足条件1，2，3，4的为等差数列：128+1155N。

⒌将等差列128+1155N取13项有：128，1283，2438，3593，4748，5903，7058，8213，9368，10523，11678，12833，13988，必然有一项满足条件5，十三十三数之余五，结果为3593，同时满足条件1，2，3，4，5的为等差数列：3593+15015N。

⒍将等差列3593+15015N N取17项有：3593，18608，33623，48638，63653，78668，93683，108698，123713，138728，153743，168758，183773，198788，213803，228818，243833，必然有一项满足条件6，十七十七数之余七，结果为198788，同时满足条件1，2，3，4，5，6的为等差数列：198788+255255N。

 

数列化简

当等差数列的首项及公差较大时，对于求任何素因子的余数，都可以先进行化简计算。

如在该问题的基础上,增加十九十九数余5，如果对198788+255255N取19项再寻找每一项的余数，用笔算是相当的不方便，我们用首项和公差分别除以19的余数，得新的等差数列：10+9N，取19项之内有：10，0(当满或超过19时减去19再算)，9，18，8，17，7，16，6，15，5，当出现与余数相同的数后,就可以不再计算了。因该数列第11项除以19余5。

即原数列的第11项除以19必然余5，198788+255255*（11-1）=2751338，得等差数列2751338+4849845N的数,为满足上面七个条件的数。