RMQ(range maximum/minimum query)算法

1、应用背景
RMQ(range maximum/minimum query)算法是为了解决在一个给定的数组里面，随机的查询某一个区间中的最大或者最小值。如果只是少量的查询，直接遍历数组就可以了，当这种查询频率很高时，这样频繁的遍历数组显然是不可行的，这就需要用到这个算法。一个原则，当我们需要减少程序运行的时间，要么就是优化代码，要么就是用时间换空间。前者也就是部分的减少时间，或者说效果不是那么显著。而后者，如果设计得好，时间可以大大减少。后者的思想也就是我们熟知的动态规划的思想。所以，一切说得很玄乎玄乎的算法，扒光之后，都是从最几个最基本的思想出发的。
2、动态规划的递推求解
动态规划，无非就是用一些数组来保存中间的结果，需要用的时候，可以在O(1)的时间内得到。OK，涉及到动态规划，就不可避免的需要得到递推式。下面来层层解析。以随机求最大值为例，假设数组是{1,2,6,9,3}，假设我们现在下标从1开始（为什么？一般的查询区间是从1开始的，当然如果实际应用是查询区间从0开始，做相应的更改就可以了。用一个dpMax[j][i]，表示第i个数据开始，长度为2^j的数据段中的最大值。比如说dpMax[1][0]，即从1开始，长度为2^0=1的最大值，就是1本身。dpMax[1][1] = max{1,2} = 2，dpMax[1][2] = max{1,2,6,9} = 3。OK，那么任给一个dpMax[i][j]，那一定是前2^j-1个数的最大值和后2^(j-1)个数的最大值中较大的一个，即dpMax[i][j] = max（dpMax[i][j-1]，dpMax[i+2^(j-1)][j-1]）。OK，递推式出来之后，就好处理啦~初始值，直接等于数组中的元素就可以啦~也就是长度为1的情况啦~

void RMQ(int n){int k = GetBit(n);memcpy(&dpMax[0][1], &arr[1], n * sizeof(int));memcpy(&dpMin[0][1], &arr[1], n * sizeof(int));for(int j = 1; j <= k; ++j)//步长{for(int i = 1; i <= n; ++i){if(i + (1 << j) - 1 <= n){dpMax[j][i] = max(dpMax[j - 1][i], dpMax[j - 1][i + (1 << (j - 1))]);dpMin[j][i] = min(dpMin[j - 1][i], dpMin[j - 1][i + (1 << (j - 1))]);}}}}

3、不是2的方幂怎么处理？
但是我们发现这里数组长度是5，不是2的方幂耶~那怎么办呢？假设数组的长度是n，那么就求出它的二进制最左边的一个1所代表的数（怎么求见GetBit）。继而我们发现我们要是求开始点b到结束点e的最大值，可能长度nLen = (e-b+1)也不是2的方幂，即不可能在我们的数组中直接有，没关系，根据我们刚刚求解递推式时候的思想，先求得k = log2(nLen)，那么要求的最大值不就是前2^k个数的最大值和后2^k个数的最大值中较大者。这里可能两部分数据会有重复，那又怎么样，我们求最大值而已，一点都不会有影响。现在明白如果数组长度不是2的方幂怎么办了吧？凉拌，直接不管呗~~

int GetBit(unsigned int x){//最高位的1的位置int count = -1;while(x){x >>= 1;++count;}return count;}

 一个实际的题目应用：NYOJ119 士兵杀敌（三）