矩阵链乘法

Description

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 

Input

有N个矩阵连乘,用一行有n+1个数数组表示,表示是n个矩阵的行及第n个矩阵的列,它们之间用空格隔开. 

Output

你的输出应该有C行，即每组测试数据的输出占一行，它是计算出的矩阵最少连乘积次数，输出最优全括号结构

Sample Input

10 100 5 50

 

 

Sample Output

 

7500

 

分析：

 

矩阵链乘法问题描述：

 给定由n个矩阵构成的序列[A1，A2，...，An]，对乘积A1A2...An，找到最小化乘法次数的加括号方法。

 1）寻找最优子结构

此问题最难的地方在于找到最优子结构。对乘积A1A2...An的任意加括号方法都会将序列在某个地方分成两部分，也就是最后一次乘法计算的地方，我们将这个位置记为k，也就是说首先计算A1...Ak和Ak+1...An，然后再将这两部分的结果相乘。

最优子结构如下：假设A1A2...An的一个最优加括号把乘积在Ak和Ak+1间分开，则前缀子链A1...Ak的加括号方式必定为A1...Ak的一个最优加括号，后缀子链同理。

一开始并不知道k的确切位置，需要遍历所有位置以保证找到合适的k来分割乘积。

 

2）构造递归解

设m[i,j]为矩阵链Ai...Aj的最优解的代价，则

          ┌ 0    如果i = j

m[i,j] = │

          └ min(i≤k＜j) {m[i,k] + m[k+1,j] + Ai.row*Ak.col*Aj.col}  如果i ＜ j

 

 3）构建辅助表，解决重叠子问题

从第二步的递归式可以发现解的过程中会有很多重叠子问题，可以用一个nXn维的辅助表t[n][n]来保存子问题的解，表中每个元素包含2个信息，分别是最优乘积代价及其分割位置k 。

辅助表t[n][n]可以由2种方法构造，一种是自底向上填表构建，该方法要求按照递增的方式逐步填写子问题的解，也就是先计算长度为2的所有矩阵链的解，然后计算长度3的矩阵链，直到长度n；另一种是自顶向下填表的备忘录法，该方法将表的每个元素初始化为某特殊值(本问题中可以将最优乘积代价设置为一极大值)，以表示待计算，在递归的过程中逐个填入遇到的子问题的解。

备忘录法会比自底向上法慢一个常数因子，因为前者有递归调用的代价，维护表格的开销也稍大。

#include<stdlib.h>#include<stdio.h>#include <memory.h>#define N 6void Print_OPTIMAL_PARENS(int s[N+1][N+1],int i,int j) //定义函数打印最优全括号的结果{if(i==j)printf("A%d",i);else{printf("(");Print_OPTIMAL_PARENS(s,i,s[i][j]);           //在分裂处进行递归调用Print_OPTIMAL_PARENS(s,s[i][j]+1,j);printf(")");}}int main(){int matrix[N+1];                  //matrix中记录矩阵的维数int i,j,k,q;int m[N+1][N+1];                  //m中记录矩阵连乘的次数    int s[N+1][N+1];                  //s[i][j]中记录了对Ai...Aj进行分裂的最优的k值for(i=0;i<=N;i++)scanf("%d",&matrix[i]);memset(m,0,(N+1)*(N+1)*sizeof(int));for(j=1;j<=N;j++)                for (i=j;i>=1;i--)          //当i=j时,m[i][j]=0，                          {                           //当i<j时,m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p(i-1)p(k)p(j)} i=<k<j                  if (j==i)m[i][j]=0;else{m[i][j]=600000; for (k=i;k<j;k++){q=m[i][k]+m[k+1][j]+matrix[i-1]*matrix[k]*matrix[j];if (q<m[i][j]){m[i][j]=q;s[i][j]=k;}}}}printf("%d/n",m[1][N]);Print_OPTIMAL_PARENS(s,1,N);return 0;}

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