Floyd算法

Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。

核心思路

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

采用的是(松弛技术)，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);

其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}

map[i,j]表示i到j的最短距离

K是穷举i,j的断点

map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i,k]这条路

算法过程
1，从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

2，对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。

===

把图用邻接距阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=无穷大。

定义一个距阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。

把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。

在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。

时间复杂度
O(n^3)

优缺点分析

Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单

缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

算法描述

a)　初始化：D[u,v]=A[u,v]

b)　For k:=1 to n

For i:=1 to n

For j:=1 to n

If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then

D[I,j]:=D[I,k]+D[k,j];

c)　算法结束：D即为所有点对的最短路径矩阵

#define INFINITE 1000           // 最大值

#define MAX_VERTEX_COUNT 20 　　// 最大顶点个数

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////

 

structGraph

{

    int    arrArcs[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];    // 邻接矩阵

    int    nVertexCount;                               　　// 顶点数量

    int    nArcCount;                                  　　// 边的数量

};

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////

首先，我们写一个方法，用于读入图的数据：

void readGraphData( Graph *_pGraph )

{

    std::cout <<"请输入顶点数量和边的数量: ";

    std::cin >> _pGraph->nVertexCount;

    std::cin >> _pGraph->nArcCount;

 

    std::cout <<"请输入邻接矩阵数据:" << std::endl;

    for( int row = 0; row < _pGraph->nVertexCount; ++row )

    {

        for( int col = 0; col < _pGraph->nVertexCount; ++col )

        {

            std::cin >> _pGraph->arrArcs[row][col];

        }

    }


}

接下来就是Floyd的核心算法


void floyd( int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT],int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT],int _nVertexCount )

{

    // 先初始化_arrPath

    for( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )

    {

        for( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )

        {

            _arrPath[i][j] = i;

        }

    }

    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

 

    for( int k = 0; k < _nVertexCount; ++k )

    {

        for( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )

        {

            for( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )

            {

                if( _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j] < _arrDis[i][j] )

                {

                    // 找到更短路径

                    _arrDis[i][j] = _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j];

 

                    _arrPath[i][j] = _arrPath[k][j];

                }

            }

        }

    }

}

输出结果数据代码

void printResult( int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT], int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT], int _nVertexCount )

{

    std::cout <<"Origin -> Dest   Distance    Path" << std::endl;

 

    for( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )

    {

        for( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )

        {

            if( i != j )   // 节点不是自身

            {

                std::cout << i+1 <<" -> " << j+1 << "\t\t";

                if( INFINITE == _arrDis[i][j] )    // i -> j 不存在路径

                {

                    std::cout <<"INFINITE" << "\t\t";

                }

                else

                {

                    std::cout << _arrDis[i][j] <<"\t\t";

 

                    // 由于我们查询最短路径是从后往前插，因此我们把查询得到的节点

                    // 压入栈中，最后弹出以顺序输出结果。

                    std::stack<int> stackVertices;

                    intk = j;

                     

                    do

                    {

                        k = _arrPath[i][k];

                        stackVertices.push( k );

                    }while ( k != i );

                    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

 

                    std::cout << stackVertices.top()+1;

                    stackVertices.pop();

 

                    unsignedint nLength = stackVertices.size();

                    for( unsigned intnIndex = 0; nIndex < nLength; ++nIndex )

                    {

                        std::cout <<" -> " << stackVertices.top()+1;

                        stackVertices.pop();

                    }

 

                    std::cout <<" -> " << j+1 << std::endl;

                }

            }

        }

    }

}

int main( void )

{

    Graph myGraph;

    readGraphData( &myGraph );

    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

 

    intarrDis[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];

    intarrPath[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];

 

    // 先初始化arrDis

    for( int i = 0; i < myGraph.nVertexCount; ++i )

    {

        for( int j = 0; j < myGraph.nVertexCount; ++j )

        {

            arrDis[i][j] = myGraph.arrArcs[i][j];

        }

    }

 

    floyd( arrDis, arrPath, myGraph.nVertexCount );

    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

 

    printResult( arrDis, arrPath, myGraph.nVertexCount );

    //////////////////////////////////////////////////////////////////////////

 

    system("pause" );

    return0;

}