数学之路(2)-数据分析-R基础(16)

来源：互联网发布：金山软件雪球编辑：程序博客网时间：2024/05/09 13:36

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9)内积

使用crossprod函数求内积。

A.向量内积

设向量A=[x1,x2,...xn]，B=[y1,y2,...yn],则矢量A和B的内积表示为:A·B=x1×y1+x2×y2+……+xn×yn。

> a<-c(1:3)

> b<-c(4:6)

> crossprod(a,b)

[,1]

[1,] 32

> a<-c(1:3)

B.矩阵内积

矩阵内积的计算方式相当于第一个参数的转置乘以第二个参数，这个乘法是矩阵乘法。

> b<-array(c(4:6),dim=c(1,3))

> a<-array(c(1:3),dim=c(1,3))

> a

[,1] [,2] [,3]

[1,] 1 2 3

> b

[,1] [,2] [,3]

[1,] 4 5 6

> crossprod(a,b)

[,1] [,2] [,3]

[1,] 4 5 6

[2,] 8 10 12

[3,] 12 15 18

> t(a) %*% b

[,1] [,2] [,3]

[1,] 4 5 6

[2,] 8 10 12

[3,] 12 15 18

C.对角矩阵

通过向量生成矩阵

> a

[1] 1 2 3 4 5 6 7 8

> diag(a)

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]

[1,] 1 0 0 0 0 0 0 0

[2,] 0 2 0 0 0 0 0 0

[3,] 0 0 3 0 0 0 0 0

[4,] 0 0 0 4 0 0 0 0

[5,] 0 0 0 0 5 0 0 0

[6,] 0 0 0 0 0 6 0 0

[7,] 0 0 0 0 0 0 7 0

[8,] 0 0 0 0 0 0 0 8

取矩阵的对角线元素组成向量

> a<-array(c(1:16),dim=c(4,4))

> diag(a)

[1] 1 6 11 16

> a

[,1] [,2] [,3] [,4]

[1,] 1 5 9 13

[2,] 2 6 10 14

[3,] 3 7 11 15

[4,] 4 8 12 16

10)求解线性方程组和逆矩阵

Solve函数求出a %*% x = b中的x向量值，即求解线性方程组，通常使用前2个参数，第一个是a，为系数矩阵，第二是b为常数项，当b缺失时，默认为单位矩阵。

ax=b=>ax=I=>a-1ax=a-1I=a-1 =>x=a-1

从上面推导可看出，不提供参数b就能求出a的逆。

求线性方程组的解

> b

[,1]

[1,] 8

[2,] 9

> a

[,1] [,2]

[1,] 1 3

[2,] 2 4

> solve(a,b)

[,1]

[1,] -2.5

[2,] 3.5

求矩阵的逆

> a

[,1] [,2]

[1,] 1 3

[2,] 2 4

> solve(a)

[,1] [,2]

[1,] -2 1.5

[2,] 1 -0.5

11)求矩阵的特征值

λ是A的特征值等价于说线性系统（A– λI） v = 0 (其中I是单位矩阵)有非零解v (一个特征向量)，因此等价于说行列式:

$\det(A - \lambda I) = 0 \!\$

函数: $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) \!\$ 是一个关于λ的多项式，称为A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。求一个矩阵A的特征值可以通过求解方程 $p_A(\lambda) = 0$ 来得到。

Eigen函数可以求特征值，其调用格式如下：

eigen(x, symmetric, only.values = FALSE)

x为需要求特征值的矩阵；symmetric是逻辑型表示是否是对称矩阵。

对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。

$A = A^{\textrm{T}} , \,\!$

对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线（左上至右下）为轴进行对称。若将其写作 $A = (a_{ij})$ ，则：

$a_{ij} = a_{ji} \,\!$

only.values 如果为TRUE，则只返回特征值，否则返回特征值和特征向量。

> a<-array(c(1:16),dim=c(4,4))

> eigen(a)

$values

[1] 3.620937e+01 -2.209373e+00 1.599839e-15 7.166935e-16

$vectors

[,1] [,2] [,3] [,4]

[1,] 0.4140028 0.82289268 -0.5477226 0.1125155

[2,] 0.4688206 0.42193991 0.7302967 0.2495210

[3,] 0.5236384 0.02098714 0.1825742 -0.8365883

[4,] 0.5784562 -0.37996563 -0.3651484 0.4745519

> eigen(a,only.values=FALSE)

$values

[1] 5.3722813 -0.3722813

$vectors

[,1] [,2]

[1,] -0.5657675 -0.9093767

[2,] -0.8245648 0.4159736

12)求矩阵的行列式值

> a<-array(c(1:4),dim=c(2,2))

> det(x)

[1] -2