[排序算法]关于Top-k排序(优先队列Priority Queue)

在实际应用中，常有这样一种情况，对于一大堆杂乱无章的数据(大小为n)，我们需要的往往只是其中最小或者最大的前k位，而之后的数据对我们没有任何意义，普通的排序算法在这个时候就显得有点不合时宜了，特别是当k << n时，简直是杀鸡用牛刀，还浪费了大量磨刀的时间。

Appetiser, first! 先来点开胃菜

Part I.方法选择

实例：假设手头上有100w份同学的简历，而现在只需要知道其中前100位同学的情况，那么应该怎么办？

方案一

使用常规排序算法对所有条目进行排序，接着再选取Top-100。
这种方法之前已经说过，在这种情景下效率偏低，不太合适。
在使用快排的情况下，时间复杂度为O(nlogn)) = O(100wlog100w)

方案二

使用堆排序(Heap Sort)（或者更具体一点说应该是使用k-堆排序）[专业术语叫做：优先队列(Priority Queue)]
这便是这篇文章所要具体介绍的方法。（不过方案二给出的方法并不是最好的解决方案）

所谓k-堆排序就是创造并维护一个大小仅仅为K的堆
在此处便是维护一个大小为100（而不是100W）的大根堆，寻找最大的数嘛，正常人的第一反应肯定都是使用大根堆。
首先根据前100个元素建立起这个堆的雏形，之后对于每一个元素都进行一次资格审查，如果当前元素比100堆中的某个元素要大，则将它置换堆中；否则直接弃用（弱肉强食，适者生存）。这一趟扫描下来，最后留在堆中的100个元素就是Top100了。

大致步骤如下：

Step.1:创造并维护k-堆

foreach (Element element in SourceArray) // 依次读取原始的数据元素{        if (heap_100.Count < 100) // 创建大根堆    {        heap_100.AppendAndSwim(element); // 在堆的最尾追加元素，并使之上浮到合适的位置    }    else // 如果堆的大小 >= 100，则开始对堆进行维护操作    {        Element min = heap_100.GetMin(); // 找到最小的元素        if (element > min)        {            Swap(min, element);     // 用新的元素替换原先最小的元素            heap_100.Swim(element); // 让新元素上浮到合适的位置        }    }}

这样一次扫描下来，每次执行上浮的时间复杂度为O(logk)，寻找堆内最小元素的时间复杂度为O(logk) ，因此，建堆并维护堆的时间复杂度为O(nlogk) = O(100wlog100)

不过到这里还只是建堆并维护堆的过程，而最终需要输出这100个元素的时候还是需要做一些额外的操作的。现在暂时将该操作命名为sink()，这每一次操作都将返回堆的根节点，接着重新调整堆的序列。

大致步骤如下：

Step.2:构建结果集

while (heap_100.Count > 0){    Element = heap_100.Sink(); // 返回当前堆的根节点，并将它从堆中删除，再重新对堆进行一次整理    resultList.Add(Element);   // 将结果添加入结果集合中}

每次Sink()的时间复杂度为O(logk)，因此该步骤的时间复杂度为O(k*logk) = O(100*log100)

至此，整个获取Top-K的过程便结束了，总共需要的时间复杂度为O(n*logk) = O(100w*log100)

一点点小技巧：哨兵

在方案二的基础上再做一些些小小改动，让这个算法可以跑得更快
在之前的维护k-堆算法中，每一次都需要先调用FindMin()查找目前堆内元素的最小值，我们可以构建一个哨兵，使它等于当前堆中的最小值，这样每次就可以不用耗费logk的查找堆内最小值的操作了。

方案三(终极方案!)

在方案三的基础上，使用小根堆（使用小根堆寻找最大的k个值）
之前在没搞清楚这个问题的时候，上网查找相关的资料，看到很多帖子都很没头没脑的说，找k个最大值用小根堆。这当时简直是让我云里雾里，怎么也搞不明白是为什么。

现在我来说明一下，其实使用小根堆的原因有两个
(1)维护k-堆的插入新结点和删除多余结点的操作非常简便；（最最重要的原因）
(2)可以用小根堆的根节点(root)直接作为哨兵元素使用。
使用了这套终极方案之后，全过程的时间复杂度为O(nlogk)，虽然和方案三的时间复杂度相同，但是运行起来肯定要比它们来得快，而且写起来也方便许多。

构建堆并进行维护的大致步骤如下：

foreach (Element element in SourceArray) // 依次读取原始的数据元素{        if (heap.Count < k) // 创建小根堆！    {        heap.AppendAndSwim(element); // 在堆的最尾追加元素，并使之上浮到合适的位置[时间复杂度：O(logk)]    }    else // 如果堆的大小 >= 100，则开始对堆进行维护操作    {        if (element < heap.Root) // 哨兵站岗，小于小根堆的根结点就没有必要再做操作了            continue;        if (element > min)        {            heap.Sink(element); // 删除根结点，并让新元素下沉到合适的位置[时间复杂度：O(logk)]        }    }}

实例：使用小根堆查找最大的k个数

Part II. 堆以及堆排序的细节

一、Heap 堆

这里的堆特指二叉堆(Binary Heap)，二叉堆具有如下二个特质（以大根堆为例）：
1. 父节点 >= 子节点
2. 堆的树状结构是完全二叉树
！注意： 堆结构中并没有对左右节点的大小做要求！ 并没有像查找二叉树一样规定说左节点就一定要比右节点小。

二、关于堆排序的基本操作

三、实例：使用小根堆查找最大的k个数

写在最后

实际情况中，碰到top-k问题时，堆排序并不是通解，还得具体情况具体分析。

(1)当k极小的时候，假设k <= C(一个非常小的数)，甚至可以直接扫描原始数据n次从而得到k个极大/小的值。 此时时间开销为：kn；（这个C是可以大致估算出来的）
(2)当C<k<2n时，堆排序就是一个很棒的选择；
(3)当k>2n时，别犹豫了，直接上快排吧；

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