回溯法之一---算法框架及基础
来源:互联网 发布:java正则表达式ip地址 编辑:程序博客网 时间:2024/05/20 20:55
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回溯法其实也是一种搜索算法,它可以方便的搜索解空间。
回溯法解题通常可以从以下三步入手:
1、针对问题,定义解空间
2、确定易于搜索的解空间结构
3、以深度优先的方式搜索解空间,并在搜索的过程中进行剪枝
回溯法通常在解空间树上进行搜索,而解空间树通常有子集树和排列树。
针对这两个问题,算法的框架基本如下:
用回溯法搜索子集合树的一般框架:
- void backtrack(int t){
- if(t > n) output(x);
- else{
- for(int i = f(n,t); i <= g(n,t);i++){
- x[t] = h(i);
- if(constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);
- }
- }
- }
用回溯法搜索排列树的算法框架:
- void backtrack(int t){
- if(t > n) output(x);
- else{
- for(int i = f(n,t); i <= g(n,t);i++){
- swap(x[t],x[i]);
- if(constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);
- swap(x[t],x[i]);
- }
- }
- }
其中f(n,t),g(n,t)表示当前扩展结点处未搜索过的子树的起始标号和终止标号,
h(i)表示当前扩展节点处,x[t]第i个可选值。constraint(t)和bound(t)是当前
扩展结点处的约束函数和限界函数。constraint(t)返回true时,在当前扩展结点
x[1:t]取值满足约束条件,否则不满足约束条件,可减去相应的子树。bound(t)返
回的值为true时,在当前扩展结点x[1:x]处取值未使目标函数越界,还需要由backtrack(t+1)
对其相应的子树进一步搜索。
用回溯法其实质上是提供了搜索解空间的方法,当我们能够搜遍解空间时,
显然我们就能够找到最优的或者满足条件的解。这便是可行性的问题, 而效率可以
通过剪枝函数来降低。但事实上一旦解空间的结构确定了,很大程度上时间复杂度
也就确定了,所以选择易于搜索的解空间很重要。
下面我们看看两个最简单的回溯问题,他们也代表了两种搜索类型的问题:子集合问题和
排列问题。
第一个问题:
求集合s的所有子集(不包括空集),我们可以按照第一个框架来写代码:
- #include<iostream>
- using namespace std;
- int s[3] = {1,3,6};
- int x[3];
- int N = 3;
- void print(){
- for(int j = 0; j < N; j++)
- if(x[j] == 1)
- cout << s[j] << " ";
- cout << endl;
- }
- void subset(int i){
- if(i >= N){
- print();
- return;
- }
- x[i] = 1;//搜索右子树
- subset(i+1);
- x[i] = 0;//搜索左子树
- subset(i+1);
- }
- int main(){
- subset(0);
- return 0;
- }
下面我们看第二个问题:排列的问题,求一个集合元素的全排列。
我们可以按照第二个框架写出代码:
- #include<iostream>
- using namespace std;
- int a[4] = {1,2,3,4};
- const int N = 4;
- void print(){
- for(int i = 0; i < N; i++)
- cout << a[i] << " ";
- cout << endl;
- }
- void swap(int *a,int i,int j){
- int temp;
- temp = a[i];
- a[i] = a[j];
- a[j] = temp;
- }
- void backtrack(int i){
- if(i >= N){
- print();
- }
- for(int j = i; j < N; j++){
- swap(a,i,j);
- backtrack(i+1);
- swap(a,i,j);
- }
- }
- int main(){
- backtrack(0);
- return 0;
- }
这两个问题很有代表性,事实上有许多问题都是从这两个问题演变而来的。第一个问题,它穷举了所有问题的子集,这是所有第一种类型的基础,第二个问题,它给出了穷举所有排列的方法,这是所有的第二种类型的问题的基础。理解这两个问题,是回溯算法的基础.
下面看看一个较简单的问题:
整数集合s和一个整数sum,求集合s的所有子集su,使得su的元素之和为sum。
这个问题很显然是个子集合问题,我们很容易就可以把第一段代码修改成这个问题的代码:
- int sum = 10;
- int r = 0;
- int s[5] = {1,3,6,4,2};
- int x[5];
- int N = 5;
- void print(){
- for(int j = 0; j < N; j++)
- if(x[j] == 1)
- cout << s[j] << " ";
- cout << endl;
- }
- void sumSet(int i){
- if(i >= N){
- if(sum == r) print();
- return;
- }
- if(r < sum){//搜索右子树
- r += s[i];
- x[i] = 1;
- sumSet(i+1);
- r -= s[i];
- }
- x[i] = 0;//搜索左子树
- sumSet(i+1);
- }
- int main(){
- sumSet(0);
- return 0;
- }
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