最近我们经常看到像鸟叔，初音之类的通过函数图像来画出来，看上去十分神奇的样子，wolframalpha这里有大量的通过函数图像来画人物的例子，大家可以去围观，而且最上面我这几个字也是我用函数图像画出来的，今天我们就说说这是怎么做到的。
首先我画的图形的函数是这个样子的：
x(t)= 3.69696969697 *cos( 0.0 *t)- 1.78787878788 *sin( 0.0 *t) + -0.608631557183 *cos( 0.190399554763 *t)- 0.637886769069 *sin( 0.190399554763 *t) + -1.00348014017 *cos( 0.380799109526 *t)- -0.251077539499 *sin( 0.380799109526 *t) + 0.0858300019403 *cos( 0.571198664289 *t)- 0.0312569171374 *sin( 0.571198664289 *t) + 0.0403938878342 *cos( 0.761598219052 *t)- -0.424077642684 *sin( 0.761598219052 *t) + -0.029533908125 *cos( 0.951997773815 *t)- -0.612124881382 *sin( 0.951997773815 *t) + -0.196190215552 *cos( 1.14239732858 *t)- 0.0779263864101 *sin( 1.14239732858 *t) + -0.317379458544 *cos( 1.33279688334 *t)- -0.107897599954 *sin( 1.33279688334 *t) + 0.195824060124 *cos( 1.5231964381 *t)- -0.0603270845874 *sin( 1.5231964381 *t) + 0.0206709920939 *cos( 1.71359599287 *t)- -0.192643145398 *sin( 1.71359599287 *t) + -0.0390613766898 *cos( 1.90399554763 *t)- -0.0233815418361 *sin( 1.90399554763 *t) + 0.120124291368 *cos( 2.09439510239 *t)- 0.165578836822 *sin( 2.09439510239 *t) + 0.118680071019 *cos( 2.28479465716 *t)- 0.192116690811 *sin( 2.28479465716 *t) + 0.000254592255497 *cos( 2.47519421192 *t)- 0.0310134506924 *sin( 2.47519421192 *t) + 0.082560849545 *cos( 2.66559376668 *t)- -0.0576194138539 *sin( 2.66559376668 *t) + -0.0926779308527 *cos( 2.85599332145 *t)- -0.0839813133077 *sin( 2.85599332145 *t) + -0.192145472441 *cos( 3.04639287621 *t)- -0.00294302065064 *sin( 3.04639287621 *t) + -0.0467279999084 *cos( 3.23679243097 *t)- 0.0312620057434 *sin( 3.23679243097 *t) + -0.131380808582 *cos( 3.42719198573 *t)- 0.0240572405524 *sin( 3.42719198573 *t) + -0.146394824366 *cos( 3.6175915405 *t)- 0.0428285063991 *sin( 3.6175915405 *t) + -0.0688190483421 *cos( 3.80799109526 *t)- -0.02541184382 *sin( 3.80799109526 *t) + -0.0901484634214 *cos( 3.99839065002 *t)- 0.181258333651 *sin( 3.99839065002 *t) + -0.0898212610648 *cos( 4.18879020479 *t)- -0.0443667156102 *sin( 4.18879020479 *t) + -0.0750426044852 *cos( 4.37918975955 *t)- 0.0736544316679 *sin( 4.37918975955 *t) + -0.119525232263 *cos( 4.56958931431 *t)- -0.0355835823163 *sin( 4.56958931431 *t) + -0.193150001399 *cos( 4.75998886908 *t)- 0.0319541260203 *sin( 4.75998886908 *t) + 0.25777892582 *cos( 4.95038842384 *t)- -0.000416186591487 *sin( 4.95038842384 *t) + 0.171027143418 *cos( 5.1407879786 *t)- 0.218778298585 *sin( 5.1407879786 *t) + -0.16745165654 *cos( 5.33118753336 *t)- -0.127545487283 *sin( 5.33118753336 *t) + 0.242332056731 *cos( 5.52158708813 *t)- -0.263812652924 *sin( 5.52158708813 *t) + 0.0367447452299 *cos( 5.71198664289 *t)- -0.534397947337 *sin( 5.71198664289 *t) + -0.325288006456 *cos( 5.90238619765 *t)- 0.163558793585 *sin( 5.90238619765 *t) + -1.13634134796 *cos( 6.09278575242 *t)- -0.84340197599 *sin( 6.09278575242 *t)y(t)= 1.78787878788 *cos( 0.0 *t)+ 3.69696969697 *sin( 0.0 *t) + 0.637886769069 *cos( 0.190399554763 *t)+ -0.608631557183 *sin( 0.190399554763 *t) + -0.251077539499 *cos( 0.380799109526 *t)+ -1.00348014017 *sin( 0.380799109526 *t) + 0.0312569171374 *cos( 0.571198664289 *t)+ 0.0858300019403 *sin( 0.571198664289 *t) + -0.424077642684 *cos( 0.761598219052 *t)+ 0.0403938878342 *sin( 0.761598219052 *t) + -0.612124881382 *cos( 0.951997773815 *t)+ -0.029533908125 *sin( 0.951997773815 *t) + 0.0779263864101 *cos( 1.14239732858 *t)+ -0.196190215552 *sin( 1.14239732858 *t) + -0.107897599954 *cos( 1.33279688334 *t)+ -0.317379458544 *sin( 1.33279688334 *t) + -0.0603270845874 *cos( 1.5231964381 *t)+ 0.195824060124 *sin( 1.5231964381 *t) + -0.192643145398 *cos( 1.71359599287 *t)+ 0.0206709920939 *sin( 1.71359599287 *t) + -0.0233815418361 *cos( 1.90399554763 *t)+ -0.0390613766898 *sin( 1.90399554763 *t) + 0.165578836822 *cos( 2.09439510239 *t)+ 0.120124291368 *sin( 2.09439510239 *t) + 0.192116690811 *cos( 2.28479465716 *t)+ 0.118680071019 *sin( 2.28479465716 *t) + 0.0310134506924 *cos( 2.47519421192 *t)+ 0.000254592255497 *sin( 2.47519421192 *t) + -0.0576194138539 *cos( 2.66559376668 *t)+ 0.082560849545 *sin( 2.66559376668 *t) + -0.0839813133077 *cos( 2.85599332145 *t)+ -0.0926779308527 *sin( 2.85599332145 *t) + -0.00294302065064 *cos( 3.04639287621 *t)+ -0.192145472441 *sin( 3.04639287621 *t) + 0.0312620057434 *cos( 3.23679243097 *t)+ -0.0467279999084 *sin( 3.23679243097 *t) + 0.0240572405524 *cos( 3.42719198573 *t)+ -0.131380808582 *sin( 3.42719198573 *t) + 0.0428285063991 *cos( 3.6175915405 *t)+ -0.146394824366 *sin( 3.6175915405 *t) + -0.02541184382 *cos( 3.80799109526 *t)+ -0.0688190483421 *sin( 3.80799109526 *t) + 0.181258333651 *cos( 3.99839065002 *t)+ -0.0901484634214 *sin( 3.99839065002 *t) + -0.0443667156102 *cos( 4.18879020479 *t)+ -0.0898212610648 *sin( 4.18879020479 *t) + 0.0736544316679 *cos( 4.37918975955 *t)+ -0.0750426044852 *sin( 4.37918975955 *t) + -0.0355835823163 *cos( 4.56958931431 *t)+ -0.119525232263 *sin( 4.56958931431 *t) + 0.0319541260203 *cos( 4.75998886908 *t)+ -0.193150001399 *sin( 4.75998886908 *t) + -0.000416186591487 *cos( 4.95038842384 *t)+ 0.25777892582 *sin( 4.95038842384 *t) + 0.218778298585 *cos( 5.1407879786 *t)+ 0.171027143418 *sin( 5.1407879786 *t) + -0.127545487283 *cos( 5.33118753336 *t)+ -0.16745165654 *sin( 5.33118753336 *t) + -0.263812652924 *cos( 5.52158708813 *t)+ 0.242332056731 *sin( 5.52158708813 *t) + -0.534397947337 *cos( 5.71198664289 *t)+ 0.0367447452299 *sin( 5.71198664289 *t) + 0.163558793585 *cos( 5.90238619765 *t)+ -0.325288006456 *sin( 5.90238619765 *t) + -0.84340197599 *cos( 6.09278575242 *t)+ -1.13634134796 *sin( 6.09278575242 *t)
如果像我们这里只用cos和sin的话，我们可以画出任意我们想画的闭合曲线，至于其他图像那样包含很多闭合曲线的是用了step function的技巧，这里我就暂时不说了，也就说我这里是说明如何画出任意的闭合曲线的。当然了也就是说只要你能一笔画的东西都可以，线当然是可以交叉或者重合的。
因为我们是要画闭合曲线，并且注意到我们的函数最后是x(t)和y(t)这种形式，所以也就是说，我们可以把x和y分别当作是周期函数来对待，说道周期函数当然就是想到傅里叶级数了，因为傅里叶级数可以逼近任意的周期函数。所以这里我们就要用到DFT离散傅立叶变换。
我们这里就要用到离散傅里叶变换和逆变换的公式：
也就是说我们可以把我们想要画的图形画出来，然后依次找出我们要连接的这些点，这些点就是x[n]，带入到上面的第一个公式，我们可以得到x[k]，于是再调用第二个公式也就是离散傅里叶的逆变换，最后利用欧拉公式把e^ix=cosx+isinx展开，就能得到我们最后的函数形式了。
按照这个思路实现的python代码如下：
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import math
N = int(raw_input())
f = []
for i in range(N):
(x, y) = map(float, raw_input().split())
f.append(complex(x, y))
F = []
for i in range(N):
ang = -2 * 1j * math.pi * i / N
r = 0
for j in range(N):
r += (math.e ** (ang * j)) * f[j]
F.append(r)
print "set parametric"
print "set samples", N + 1
print "x(t)=",
for i in range(N):
ang = 2 * math.pi * i / N
if i > 0:
print "+",
print F[i].real / N, "*cos(", ang, "*t)-",
print F[i].imag / N, "*sin(", ang, "*t)",
print
print "y(t)=",
for i in range(N):
ang = 2 * math.pi * i / N
if i > 0:
print "+",
print F[i].imag / N, "*cos(", ang, "*t)+",
print F[i].real / N, "*sin(", ang, "*t)",
print
print "plot [t=0:", N, "] x(t), y(t)"
print "pause 60"
也可以在这里看代码，把代码存成dft.py然后运行python dft.py输入点的个数以及点的位置，运行程序就可以看到生成的函数了，把结果输入到gnuplotli就可以看到函数图像了。
比如我生成的那个函数图像的输入是这个样子的：
330 02 01 01 30 32 32 23.5 05 25 34 33.5 23 32 33 33.5 24 35 35 15.5 06.5 07 17 37 16.5 05.5 05 15 34 33.5 23 31 31 0
可以把输入文件保存到input.txt，然后运行cat input.txt | python dft.py | gnuplot就可以看到绘制好的函数了。
也就是说只要把你要画的东西的点描绘出来，输入到程序中就可以生成不可思议的函数了！
参考资料：
http://mathematica.stackexchange.com/questions/17704/how-to-create-new-person-curve
http://tieba.baidu.com/p/2156093774
http://www.quora.com/Mathematics/How-is-the-Gangnam-Style-mathematical-plot-made
原文链接：isnowfy
