约瑟夫斯问题及其编程

约瑟夫斯（Josephus）问题是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。并且约瑟夫斯问题的描述是这样的：有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

    然后问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

    在约瑟夫斯问题里详细介绍了其中k=2时此问题的数学方式的解法，并得到了一个可以通过数学归纳法证明的定理：

如果且，则。

    比较令人眼前一亮的是这个结论的表现形式竟与整数n的二进制表示有关：即把n的第一位移动到最后，便得到。如果n的二进制表示为，则。这点很容易证明：因n的第一位是1，并且其余位的十进制值就是l，然后左移一位（即2*l）再加上第一位的值就变成了的值了。

    接着使用动态规划的方法得到一般情况下（即）的递推公式：

当n=1时，；

但n>1时，

此时先开始用数学方法来实现约瑟夫斯问题的编程，其代码如下（使用递推方式）：

#include <iostream>using namespace std;int Josephus(int n, int k);int main(){    int n, k, ret;    cout << "Please Enter Two number(n, k): ";    cin >> n >> k;        ret = Josephus(n, k);        cout << "The final winner is " << ret << endl;        system("pause");    return 0;    }        int Josephus(int n, int k)    {        int ret;        if(1 == n)             return ret = 1;        else        {            ret = (Josephus(n-1, k) + k)%n;            if(0 == ret)                 ret = n;            return ret;            }        }

当输入n=9、k=5时最后一个数是8，下图就是执行的结果：

注意：这里必须要对Josephus(n, k)的值进行判断，因Josephus(n-1, k)+k>=k>0，所以当Josephus(n, k)为0时，必须要将其赋值为n。（为什么是n而不是n*m？其中m是大于1的任意正整数）

例如注释掉上述代码中的这段代码：if(0 == ret) ret = n;

执行的结果如下所示：

此时结果是错误的，最后留下来的人应该是9才对。

同时这里的递推可以用循环来实现：

#include <iostream>using namespace std;int main(){    int n, k, ret = 1, i;    cout << "Please Enter Two Number(n, k): ";    cin >> n >> k;        for(i = 2; i <= n; i++)    {          ret = (ret + k)%i;          if(0 == ret)               ret = i;          }              cout << "The final winner is " << ret << endl;        system("pause");    return 0;    }

执行结果如下图所示：

接下来使用链表方法来实现：

这里解决这个问题的核心步骤（即程序的基本算法）是：

1）建立一个具有n个链接点而无头结点的循环链表；

2）确定第一个报数人的位置即m；

3）不断地从该链表中删除报数人处的链接点，直到该链表为空。

其代码如下：

#include <iostream>using namespace std;typedef struct node{        int data;        struct node *next;        }Node;        void createList(Node* &head, Node* &tail, int n);void print(Node* &head);void countPrint(Node* &head, Node* &tail, int k);int main(){    Node *head, *tail;    int n, k;    cout << "Please Enter Two numbers(n, k): ";    cin >> n >> k;        createList(head, tail, n);    print(head);    countPrint(head, tail, k);        system("pause");    return 0;    }    void createList(Node* &head, Node* &tail, int n){     if(n < 1)     {          head = NULL;          return;          }     head = new Node;     head->data = 1;     head->next = NULL;          Node *p = head;     for(int i = 2; i < n+1; i++)     {             p->next = new Node;             p = p->next;             p->data = i;             p->next = NULL;             }          tail = p;     p->next = head;     }     void print(Node* &head){     Node *p = head;          do     {             cout << " " << p->data << " ";             p = p->next;             }while(p != head);     cout << "\n";     }     void countPrint(Node* &head, Node* &tail, int k){     Node *cur = head;     Node *pre = tail;          int cnt = k;     while(cur && cur != cur->next)     {               if(--cnt)               {                        pre = cur;                        cur = cur->next;                        }               else               {                   pre->next = cur->next;                   cout << " " << cur->data << " ";                   delete cur;                   cur = pre->next;                   cnt = k;                   }               }     if(cur == cur->next)     {                   cout << " " << cur->data << endl;                   delete cur;                   head = tail = NULL;                   }     }

执行结果如下图所示：

参考资料：http://blog.csdn.net/zhuimengzh/article/details/6727221