约瑟夫问题的数学解法

分类： 数学2012-01-02 01:14 645人阅读 评论(4) 收藏 举报

语言

       我们用较为简洁的语言描述一下约瑟夫问题：

       有n个人从0----n-1进行编号，然后进行0----m-1的报数，报数到m-1的人出列，然后从下一个人继续开始新一轮的报数，最后剩下一个人为胜者。

       其实我们可以重新看待一下约瑟夫问题，当没删除一个人之后，我们从这个人后面的那个人重新开始0----n-2的编号，然后删除(m-1)%(n-1)的人，我们看具体的一个例子就比较好理解。

n=5，m=3

0 1 2 3 4

0 1 2 删除编号为2的人，从3开始继续0到2的报数

2       0 1删除编号为0的人。

        如果我们一直n-1个人删除之后剩下的人是编号为多少，那么我们可以从n个人原始的编号与重编号的关系得到n个人的情况下删除的人的编号。

        我们定义dp[i]表示i个人的时候剩下的最后一个人的编号，那么根据重编号的情况，我们可以得到递推式dp[n] = (m%n+dp[n-1])%n。

        这样直接从模拟的时间复杂度降低为O(n)了，其实很多关于删除重编号的问题都可以用这种思路来做，将原问题减小为一个更小的相同的问题，当得到子问题的解之后，通过回溯得到原问题的解。

        其实代码很简单，有需要的可以看一下下面的代码（n、m的定义和上面是一致的）：

#include<stdio.h>int dp[100];int main(){    int n,m;    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)    {        dp[1]=0;        for(int i=2;i<=n;i++)        {            dp[i] = ((m)%i +dp[i-1])%i;        }        printf("%d\n",dp[n]);    }    return 0;}