ZOJ 2103 Marco Popo the Traveler(无向图欧拉路径)

判断欧拉路，欧拉回路：

注意图联通，可以DFS或者并查集

一．无向图

欧拉回路：每个顶点度数都是偶数

欧拉路：所有点度数为偶数，或者只有2个点度数为奇数

二．有向图（非混合）

欧拉回路：每个顶点入度等于出度

欧拉路：每个顶点入度等于出度；

或者只有1个点入度比出度小1, 从这点出发，只有1个点出度比入度小1，从这个点结束，其他点入度等于出度

三．混合图（有的边单向，有的边不确定方向）

欧拉回路：　　

判断一个图中是否存在欧拉回路（每条边恰好只走一次，并能回到出发点的路径），在以下三种情况中有三种不同的算法：

一、无向图
每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。

二、有向图（所有边都是单向的）
每个节顶点的入度都等于出度，则存在欧拉回路。

欧拉路：

首先判断底图是否联通；

然后，给不定向边 随便给定方向，考虑每个点的出度和入度：

1）如果入度和出度之差 都是偶数，说明如果存在欧拉路，则一定是欧拉回路，解法同上；

2）如果可以找到一个且仅一个点st，入度比出度 小奇数，一个出度比入度小奇数的点ed，则加无向边(st，ed), 转为混合图欧拉回路问题

另外，一般关于欧拉路的题，边数都比较少，如果要求字典序最小，则可以直接存边，排序后，每次dfs，先走小的，这样记录结束顺序，倒叙输出，就是字典序最小的。因为倒叙输出，先遍历到的点会先输出。

混合图欧拉回路  相关题目：pku1637，zju1992，hdu3472
　　混合图欧拉回路用的是网络流。
　　把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
　　好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
　　现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
　　由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
　　所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <limits.h>#include <memory.h>using namespace std;const int maxn = 11;int g[maxn][maxn], id[maxn];int dg[maxn], ans, N, C, H;void dfs(int u,int preC, int cnt, int roadCnt){if(cnt > ans)return;if(roadCnt == H){ans = min(ans, cnt);return;}for(int i = 0 ; i < N; ++i){if(g[u][i] != -1){int t = g[u][i];g[u][i] = -1;g[i][u] = -1;if(preC != t){dfs(i, t, cnt + 1, roadCnt + 1);}else{dfs(i, t, cnt, roadCnt + 1);}g[u][i] = t;g[i][u] = t;}}}int find(int p){return p == id[p] ? p : id[p] = find(id[p]);}void uni(int p, int q){int pp = find(p), pq = find(q);if(pp == pq)return;id[pp] = pq;}int main(){while(scanf("%d%d%d", &N, &C, &H)){if(!N && !C && !H)break;memset(g, -1, sizeof(g));memset(dg, 0, sizeof(dg));for(int i = 0; i < N; ++i){id[i] = i;}for(int i = 0; i < H; ++i){int u, v, c;scanf("%d %d %d", &u, &v, &c);g[u][v] = g[v][u] =c;dg[u]++;dg[v]++;uni(u, v);}int odId1 = -1, odId2 = -1,  oddCnt = 0, f = 0;for(int i = 0; i < N; ++i){if(i == id[i])f++;}if(f > 1){//判连通 printf("No\n");}else{for(int i = 0; i < N; ++i){if(dg[i] % 2){oddCnt++;if(odId1 == -1){odId1 = i;}else if(odId2 == -1){odId2 = i;}}}ans = INT_MAX;if(N == 1){printf("0\n");}else if(oddCnt == 0){for(int i = 0; i < N; ++i){//都是偶数度,每个点都做一次起点 dfs(i, -1, 0, 0);}printf("%d\n",ans - 1);} else if(oddCnt == 2){dfs(odId1, -1, 0, 0);//两个奇数点分别做一次起点 dfs(odId2, -1, 0, 0);printf("%d\n",ans - 1);}else{printf("No\n");}}}return 0;}