最长递减子序列--动态规划

例如：有一个序列，例如 9 8 2 1 7 5 3 4 3 2 1.
     求出最长的递减子序列。如本例的结果就是：9 8 7 5 4 3 2 1。

分析：

        可采用动态规划的思想进行解答，时间复杂度为O(n^2).

       设原数组为a[1....n]。另设一数组d[1....n],其中d[i]表示从第i个元素开始（一定包含第i个元素），到整个数组末尾的子序列 a[i...n]中的最长递减子序列的长度。
       则本问题就是要在求出d[1]的同时，恢复出最优解。

   下面给出递推式：

d[i]的值分两种情况：
1、当i=n时，d[i]=1。即最后一个元素的序列的最大递减子序列中只有它自己。

2、当i<n时，d[i]=max{d[k]| i<k<=n 且a[i]>a[k]} +1。解释意思为，包含第i个元素的序列a[i...n]的最大子序列依赖于i后面所有的序列中比a[i]小（满足递减
特性），且最大的d[k]（满足最 优特性）值再加1（加上a[i]元素）。在给d[i]赋值的时候只需记录p[i]=k,既可以作为parent属性恢复出解。

具体实现的话，开两个数组d[n],p[n]，外层循环从后往前选取i，内层循环从i往后寻找最优的k,双循环遍历即可求出所有的d[i]。然后 再进行一次O（n)操作，找出最大的d[max]。恢复解的话，可以从p[max]开始，依次恢复出各个解。

 1 #include <iostream.h>  3 void longest_decrease_sub(int *a, int size) 4 {      6     int *d=new int[size]; //分配内存空间     7     int *p=new int[size];  //分配内存空间      9     d[size-1]=1;     11     for(int i=size-1;i>=0;i--)12     {         14         int max=0;         16         int index=0;         18         for(int j=i;j<size;j++)19         {             21             if(a[i]>a[j] && max <d[j])22             {                 24                 max=d[j];                 26                 index=j;                 28             }             30         }         32         if(max==0)33         {             35             d[i]=1;             37             p[i]=-1;             39         }40         else41         {             43             d[i]=max+1;             45             p[i]=index;             47         }         49     }50     51     //寻找最大子序列的起始下标     53     int max=0;     55     int max_index=0;     57     for( i=0;i<size;i++)58     {        60         if(d[i]>max)61         {             63             max=d[i];             65             max_index=i;             67         }         69     }70     71     //从最大子序列的下标开始 输出子序列    72     cout<<"\n最长递减子序列的长度为："<<d[max_index]<<",最长子序列为："<<ends;     74     for( i=max_index;i!=-1;i=p[i])75     {         77         cout<<a[i]<<" "<<ends;         79     }80     81     delete [] d;     83     delete [] p;     85 }86 87 void main()88 {89     int data[10]={1,2,5,4,3,2,7,8,9,0};90     longest_decrease_sub(data,10);91 }