编程之美2.18_由数组分割到背包问题（1）

编程之美上2.18题：

有一个无序，元素个数为2n的正整数数组，要求：如何能把这个数组分割为元素个数为n的两个数组，并使两个子数组的和最接近？

eg：1,5,7,8,9,6,3,11,20,17->1,3,11,8,20     5,7,9,6,17

 

分析：

题目的本质是从2n个整数中找出n个数，使得其和最接近所有整数总和的一半。

编程之美的解法一已经明确了，该种揭发不是最优的。

下面两种解法主要是用动态规划，虽然我看的不是很明白，但是这让我想到了这题可以用背包问题来求解。背包问题是标准的动态规划问题。下面是思路：

 

由题目看，此题应该转换为01背包问题，因为其中的元素每个只能取一次。背包的容量W为sum/2，物品的总个数M=2n。但是01背包问题只需要求得装入背包的物品使得总价值最大即可，对装入物品的个数并没有限制。但是这里不同，装入背包的物品总价值不仅要最大，而且装入的物品个数一定是2n的一半：n个！这就需要好好的思考一下了~

 

我们假设F[i][j][k]表示从前i个数中取j个数，其和不超过k且最接近k的一个值。

那么利用01背包的思想：

F[i][j][k] = max(F[i-1][j][k],F[i-1][j][k-A[i]]+A[i])，其中1<=i<=2n,1<=j<=min(i,n),1<=k<=sum/2，前一个式子表示第1个数不取，后一个式子表示取第i个数。这样，最后取的n个数的总和结果就是F[2n][n][sum/2]。注意，前后两个式子表示的情况是完备且互斥的。

另外有一个很关键的是求到底取了数组中的读几个数，当F[i][j][k] = F[i-1][j][k-A[i]]+A[i]时，说明第i个数被取，这时候需要一个数组P[][][]进行记录。可以这么做：

当F[i][j][k] = F[i-1][j][k-A[i]]+A[i]时，令P[i][j][k] = 1，最后从F[2n][n][sum/2]逆着走向F[0][0][0,]，若发现F[i][j][k]= 1， 则说明数组中的第i个数取了，同时k = k-A[i]，j = j-1，i = i-1。

好了，直接上代码：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace  std;int F[100][50][1000];int P[100][50][1000];int GetSplitArraySum(int *arr, int n)//n代表元素个数不包括第0个{int sum = 0;for (int i=1; i<=n; ++i)sum += arr[i];int val = sum>>1;for (int i=1; i<=n; ++i) {for (int j=1; j<=min(i, n>>1); ++j) {for (int k=1; k<=val; ++k) {F[i][j][k] = F[i-1][j][k]; if (k>=arr[i] && F[i][j][k] < F[i-1][j-1][k-arr[i]]+arr[i])  {F[i][j][k]=F[i-1][j-1][k-arr[i]]+arr[i] ;P[i][j][k] = 1;}}}}return F[n][n>>1][val];}void PrintElem(int *arr, int n){int sum = 0;for (int i=1; i<=n; ++i)sum += arr[i];int val = sum>>1;int i= n;int j = n>>1;int k = val;while (i>0 && j>0 && k>0) {if (P[i][j][k]==1) {cout<<arr[i]<<" ";--j;k -= arr[i];} --i;}cout<<endl;}int main(int argc, char **argv){int arr[10+1] = {0,1,5,7,8,9,6,3,11,20,17};cout<<GetSplitArraySum(arr, 10)<<endl;PrintElem(arr, 10);system("pause");return 0;}

此方法的空间复杂度为O(2N*N*Sum/2)即O(N^2*Sum)，时间复杂度为O(N2Sum)。还可以优化么？待续~