从抓小球谈起---常见的离散型概率模型

假设有n个小球，其中a个为红球，b个为黑球，有a + b = n

问题一：抓到红球的概率为多少？（两点分布）

           

概率：p = a / n 

问题二：放回抓取，不停的抓，直到第k次抓到红球为止（几何分布）

概率：p = (（1 - p）^  （k - 1）) *  p

需要抓取次数的期望：1 / p

问题三：放回抓取，抓了m次，其中抓到k次红球的概率（二项分布）

概率：略

抓到红球个数的期望：np

问题四：不放回抓取，抓了m次，其中抓到k次红球的概率（超几何分布）

概率：略

抓到红球个数的期望：(a/m) * p

注：在实际应用时，只要n>=10a，超几何分布可用二项分布近似描述抓到红球的个数。

总结：

一、对于求某一事件的概率问题，首先要判断该事件是否是独立事件：

1.如果是独立事件，那么直接求解

2.如果不是独立事件，见《关于事件独立和先验概率》

二、对于求期望问题

1.首先要判断是求什么的期望，如问题二是求抓取次数的期望，问题三是求抓取红球个数的期望

2.期望大多都是求多项式的和，对于无法直接套用求和公式的情况，可以考虑使用（错位相减法）和（导数公式）

例如问题二：

错位相减法：

导数公式