Sicily 1305 Who’s Winner? （SOJ 1305） 【Nim问题】

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我以前最烦这种策略、博弈问题，因为总是觉得无章可循，要解题只能依靠灵光一闪，但是看了《编程之美》这本书后（绝对是好书，我对其评价如下哈哈：《推荐一本书》），看到这题我就大致想出解法了。

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我个人认为这也是Nim问题的一种，这一题换一种叙述方式可以是，对于某一范围的石头，每次可以取走若干，使其变为原来的多少分之1，最终剩下多少个石头就谁获胜。

对这题的求解过程比较诡异，因为我一开始看错题，以为仅仅从2和9两个数字中选1个，后来才发现是2~9，神奇的是，我发现就算看错了题，做法也是不变的···

好了，说说这题的思路，套用《编程之美》这本书里面解这类题的思想，可以划分“安全区”的概念，安全区就是（通常针对玩家1）玩家在里面就必定不会输的区域。

举个例子，对于玩家来说：

1 n~无穷是安全区，因为走到这个区域里面，玩家必定胜利

2 n/9（上取整）~n-1 是危险区，玩家一旦走到这个区域里面，另外一个玩家下一次动作就会胜利

3 我们假设2中k=n/9（上取整），kk=n-1，进一步地，k/2（上取整）~k-1是安全区....

按照上面这样递推，有一个问题，为什么有时候是除以2，有时候是除以9？

这样思考——当玩家要到达安全区，那么必定有其对手在危险区，所以从当前的安全区逆推危险区的范围时，应该使用除以9（思考为什么）；而怎么样才能令到对手会走到危险区上？只有自己走到某一个区域，而在这个区域上面，无论对手下一步选择什么数字，都会走到危险区上面，当前自己所在的区域就是安全区，所以安全区内的数字，应该保证其乘以2~9中任何数字，都会进入危险区的范围。

简而言之，在安全区的人，可以永远保证自己在安全区，而在危险区的人，用于会在危险区。所以我们只需要知道Susan或Nic一开始在什么区就可以了。

上面是最难理解的···顺带说一句，今天校队4+2补选赛砸了，哎。

继续。

由于Nic从1开始乘，所以我们选择Susan作为游戏的first player，然后她的数字是1 。然后按照刚才的方法，看看递推下来，区间在包含1的时候，当前的区间是危险区还是安全区就可以知道SUSAN赢还是输了。

后来发现要考虑一种特殊情况：如果n<=9，那么就直接输出Nic胜利，否则就按上面的方法计算。

可能我解释得不好，各位看代码吧，如下：

#include<stdio.h>#include<iostream>using namespace std;long long n;long long lb,ub;  //当前区间的左边界和右边界 bool w;           //w=true则当前区间是安全区 int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    //freopen("out.txt","w",stdout);    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)    {      if(n<=9)      {        printf("Nic wins.\n");        continue;      }                                      lb=n; ub=2*n;      w=true;      while(!(lb<=1 && ub>=1))      {        //printf("%lld %lld\n",lb,ub);        ub=lb-1;        long long tmp=w?9:2;        long long tmp2=lb/tmp;        for(;tmp2*tmp<lb;++tmp2)        {}        lb=tmp2;        w=(!w);      }      if(w)        printf("Susan wins.\n");      else        printf("Nic wins.\n");    }}                                 

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