神奇的模运算

    小学时，大家应该已经很熟悉“如何判断一个数能否被3或9整除”的问题。然而，为何一个数的各位数的和能被3或9整除时，该数即可以被3或9整除呢？又为何个位数是偶数时，该数即为偶数呢？有没有类似的简单的方法来判断一个数能否被7，被11整除呢？

    模运算可以很好地给出问题的答案。

    什么是模运算呢？学过离散数学基础或是有过编程经验的同学应该都知道这个概念。当我们用一个数d去除另一个数a时，如果不能整除，则会产生余数。即，a÷d=m……n，其中0<n<d.（当n=0时，d|a） 则n即为a模d的结果。

    一般地，如果整数a和b用d除有相同的余数，即有一个整数n使得a-b=nd成立（此处，d为一固定整数），我们就说a和b是摸d同余的,记做a≡b(mod d)。例如，17≡25(mod 4)。

    模运算有哪些性质，让其很有用呢？

    1)自反性。即恒有a≡a(mod d)

    2)交换性。如果a≡b(mod d)，则b≡a(mod d)。

    3)传递性。如果a≡b(mod d)，且b≡c(mod d)，则a≡c(mod d)。

    除以上三个基本性质外，下面几个类似于数学运算中“=”的性质使模运算具有无与伦比的优势。

    如果a≡a'(mod d)，b≡b'(mod d)，则

    4)可加性。a+b≡a'+b'(mod d)。

    5)可减性。a-b≡a'-b'(mod d)。

    6)可乘性。a×b≡a'×b'(mod d)。

    到这里，我们已经可以解决本文开头所提出的问题了。

    首先我们来讨论下关于能被3和9整除的故事。

    1）对于任何一个在十进制系统中表示的整数z = a_0 + a_1×10 + a_2×10^2 + a_3×10^3 + …，很容易发现1≡10≡10^2≡10^3≡…≡10^n(mod 3)。应用模运算的可乘性和可加性即可知：z≡(a_0+a_1+a_2+a_3+...)mod 3。故，若一个整数的各位数之和能被3整除，即模3余0时，则该整数能被3整除。

    2）关于能被9整除的原因，由于1≡10≡10^2≡10^3≡…≡10^n(mod 9)，故同理可得。

    下面我们来看下其他一些特殊的情况。

    3）对于2来说，由于1≡1(mod 2)，而0≡10≡10^2≡10^n(mod 2)，故z≡a_0(mod 2)。

    4）对于5来说，由于1≡1(mod 5)，而0≡10≡10^2≡10^n(mod 5)，故z≡a_0(mod 5)。

    接下来，我们可以来看下那些我们不是那么熟悉的情况了。

    5）对于4来说，由于1≡1(mod 4)，2≡10(mod 4)，而0≡10^2≡10^3≡10^n(mod 4)，故z≡(a_0+2×a_2)(mod 4)，即一个数的个位数+十位数*2后可以被4整除，则该数可以被4整除。（或者我们可以直接用最后两位数来判断一个数能否被4整除。比如，由于24能被4整除，所以1357872623333324能被4整除）

    6）对于8来说，与4的情况类似。z≡(a_0 + 2×a_2 + 4×a_3)(mod 8)。（即，只看最后三位数能否被8整除即可。）

    7）6在0-9中比较特殊，因为其是唯一一个有两个质数为因数的数。故我们可以用是否能被2和3整除来判断其能否被6整除。（末尾数为偶数，其各位数和可被3整除。）

    8）最为麻烦些的数是7，因为1≡1(mod 7)，10≡3(mod 7)，100≡2(mod 7)，1000≡-1(mod 7)，10000≡-3(mod 7)，100000≡-2(mod 7)，再向下为重复。故z≡(a_0 + 3×a_1 + 2×a_2 - 1×a_3 - 3×a_4 - 2×a_5 + ....)(mod 7)。当然，运算比较麻烦，不过还是比直接除要简单些。其可以大大降低位数，在一些数字类题目中还是有用的。

    9）另一个让我们有些惊喜的数是11。因为1≡1(mod 11)，10≡-1(mod 11)，100≡1(mod 11)，1000≡-1(mod 11)……后面，1和-1便会交替出现了。故z≡(a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + ....)(mod 11)。

    费马还有一个跟模运算有关的定理。a^(p-1)≡1(mod p)，另外还有关于二次剩余的概念。

    当然，模运算美妙的地方还在于它在生活中的奇妙应用。比如，时钟…… 比如，模幂运算，凯撒密码……