高斯消元基础题

题目：http://poj.org/problem?id=1222

 

题意：5*6矩阵中有30个灯，操作一个灯，周围的上下左右四个灯会发生相应变化 即由灭变亮，由亮变灭，如何操

     作使灯全灭？

 

分析：这个问题是很经典的高斯消元问题。同一个按钮最多只能被按一次，因为按两次跟没有按是一样的效果。那么

     对于每一个灯，用1表示按，0表示没有按，那么每个灯的状态的取值只能是0或1。列出30个方程，30个变

     元，高斯消元解出即可，因为解只能是0或者1，所以方程组是一定有解。

 

代码：

#include <iostream>#include <string.h>#include <algorithm>#include <stdio.h>#include <math.h>using namespace std;const int N = 35;int gcd(int a,int b){    return b ? gcd(b,a%b):a;}int lcm(int a,int b){    return a / gcd(a,b) * b;}void Gauss(int a[][N],int n,int m,int &r,int &c){    r = c = 0;    for(; r<n && c<m; r++,c++)    {        int maxi = r;        for(int i=r+1; i<n; i++)            if(abs(a[i][c]) > abs(a[maxi][c]))                maxi = i;        if(maxi != r)        {            for(int i=r; i<m+1; i++)                swap(a[r][i],a[maxi][i]);        }        if(a[r][c] == 0)        {            r--;            continue;        }        for(int i=r+1; i<n; i++)        {            if(a[i][c] != 0)            {                int x = abs(a[i][c]);                int y = abs(a[r][c]);                int LCM = lcm(x,y);                int tx = LCM / x;                int ty = LCM / y;                if(a[i][c] * a[r][c] < 0)                    ty = -ty;                for(int j=c; j<m+1; j++)                    a[i][j] = ((a[i][j] % 2 * tx % 2 - a[r][j] % 2 * ty % 2) % 2 + 2) % 2;            }        }    }}int Rewind(int a[][N],int x[],int r,int c){    for(int i=r-1; i>=0; i--)    {        int t = a[i][c] % 2;        for(int j=i+1; j<c; j++)        {            if(a[i][j] != 0)                t -= a[i][j] % 2 * x[j] % 2;        }        x[i] = t / a[i][i] % 2;        x[i] = (x[i] + 2) % 2;    }    return 0;}int a[N][N];int x[N];int main(){    int cas = 1;    int n,m,T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        n = m = 30;        memset(a,0,sizeof(a));        for(int i=0; i<5; i++)        {            for(int j=0; j<6; j++)            {                if(i >= 1) a[6*i+j][6*(i-1)+j] = 1;                if(i <= 3) a[6*i+j][6*(i+1)+j] = 1;                if(j >= 1) a[6*i+j][6*i+j-1] = 1;                if(j <= 4) a[6*i+j][6*i+j+1] = 1;                a[6*i+j][6*i+j] = 1;                scanf("%d",&a[6*i+j][30]);            }        }        int r,c;        int cnt = 0;        Gauss(a,n,m,r,c);        Rewind(a,x,r,c);        printf("PUZZLE #%d\n",cas++);        for(int i=0; i<30; i++)        {            cnt++;            if(cnt % 6) printf("%d ",x[i]);            else printf("%d\n",x[i]);        }    }    return 0;}

 

题目：http://poj.org/problem?id=1830

 

题意：给定个开关，其中，然后给定这个开关的初始状态和最终状态，再给定一些关系，表示操作一

     个开关另一些开关的变化情况，求有多少种方法能从初始状态变为最终状态。

 

分析：如果只有唯一解，则输出1，如果有多个变元，变元个数为，那么答案等于，否则没有解。

 

代码：

#include <iostream>#include <string.h>#include <algorithm>#include <stdio.h>#include <math.h>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 35;int gcd(int a,int b){    return b ? gcd(b,a%b):a;}int lcm(int a,int b){    return a / gcd(a,b) * b;}void Gauss(int a[][N],int n,int m,int &r,int &c){    r = c = 0;    for(; r<n && c<m; r++,c++)    {        int maxi = r;        for(int i=r+1; i<n; i++)            if(abs(a[i][c]) > abs(a[maxi][c]))                maxi = i;        if(maxi != r)        {            for(int i=r; i<m+1; i++)                swap(a[r][i],a[maxi][i]);        }        if(a[r][c] == 0)        {            r--;            continue;        }        for(int i=r+1; i<n; i++)        {            if(a[i][c] != 0)            {                int x = abs(a[i][c]);                int y = abs(a[r][c]);                int LCM = lcm(x,y);                int tx = LCM / x;                int ty = LCM / y;                if(a[i][c] * a[r][c] < 0)                    ty = -ty;                for(int j=c; j<m+1; j++)                    a[i][j] = ((a[i][j] % 2 * tx % 2 - a[r][j] % 2 * ty % 2) % 2 + 2) % 2;            }        }    }}LL Rewind(int a[][N],int n,int m,int r,int c){    for(int i=r; i<n; i++)        if(a[i][c] != 0)            return -1;    if(m == r) return 1;    if(m > r)  return (LL)1<<(m-r);    if(m < r)  return -1;}int a[N][N];int t1[N],t2[N];int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        int num,n,m;        scanf("%d",&num);        n = m = num;        memset(a,0,sizeof(a));        for(int i=0; i<num; i++)            scanf("%d",&t1[i]);        for(int i=0; i<num; i++)        {            scanf("%d",&t2[i]);            if(t2[i] != t1[i])                a[i][num] = 1;            a[i][i] = 1;        }        while(1)        {            int x,y;            scanf("%d%d",&x,&y);            if(x == 0 && y == 0) break;            a[y-1][x-1] = 1;        }        int r,c;        Gauss(a,n,m,r,c);        LL ans = Rewind(a,n,m,r,c);        if(ans == -1) puts("Oh,it's impossible~!!");        else printf("%I64d\n",ans);    }    return 0;}

 

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3359

 

题意：有一个图像模糊处理的算法，图像设置为一定灰度后是一个不太大的矩阵，对这个矩阵通过一个算法处理后得

     到另一个矩阵，那么图像就会变得模糊，这个算法就是求某个元素周围距离在内的平均值。现在给定模糊图

     像的矩阵，把它还原为清晰图像对应的矩阵。具体变换如下图所示

 

                

 

 

分析：这个题比较有意思，涉及到图像处理的算法，当然这个我们可以设每个矩阵里的元素对应一个未知数，那么一

     共有个未知数，而某个元素在距离为以内的所有元素都与它有关系，那么可以得到个方程形成的

     方程组。注意这里的数字为实数，所以不必像整数求最大公约数那样消元，直接做就行了。

 

代码：

#include <iostream>#include <string.h>#include <algorithm>#include <stdio.h>#include <math.h>using namespace std;const int N = 105;void Gauss(double a[][N],int n,int m,int &r,int &c){    r = c = 0;    for(; r<n && c<m; r++,c++)    {        int maxi = r;        for(int i=r+1; i<n; i++)            if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[maxi][c]))                maxi = i;        if(maxi != r)        {            for(int i=r; i<m+1; i++)                swap(a[r][i],a[maxi][i]);        }        for(int i=r+1; i<n; i++)        {            if(a[i][c])            {                double t = -a[i][r] / a[r][r];                for(int j=r; j<m+1; j++)                    a[i][j] += t * a[r][j];            }        }    }}void Rewind(double a[][N],double x[],int n,int m,int r,int c){    for(int i=r-1; i>=0; i--)    {        double t = a[i][c];        for(int j=i+1; j<c; j++)            t -= a[i][j] * x[j];        x[i] = t / a[i][i];    }}int dist(int x1,int y1,int x2,int y2){    return abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2);}double a[N][N];double t[N][N];double x[N];int main(){    int n,m;    int w,h,d;    bool flag = 1;    while(scanf("%d%d%d",&w,&h,&d)!=EOF)    {        if(w == 0 && h == 0 && d == 0) break;        if(flag) flag = 0;        else puts("");        for(int i=0; i<h; i++)        {            for(int j=0; j<w; j++)                scanf("%lf",&t[i][j]);        }        n = m = w * h;        memset(a,0,sizeof(a));        for(int i=0; i<h; i++)        {            for(int j=0; j<w; j++)            {                int cnt = 0;                for(int k=0; k<h; k++)                {                    for(int r=0; r<w; r++)                    {                        if(dist(i,j,k,r) <= d)                        {                            a[i*w+j][k*w+r] = 1;                            cnt++;                        }                    }                }                a[i*w+j][m] = t[i][j] * cnt;            }        }        int r,c;        Gauss(a,n,m,r,c);        Rewind(a,x,n,m,r,c);        for(int i=0; i<h; i++)        {            for(int j=0; j<w; j++)                printf("%8.2f",x[i*w+j]);            puts("");        }    }    return 0;}